Jul 6 2012

Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA


  1. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

    A. Rp. 20.000.000,00

    B. Rp. 25.312.500,00

    C. Rp. 33.750.000,00

    D. Rp. 35.000.000,00

    E. Rp. 45.000.000,00

    PEMBAHASAN :

    Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

    Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000

    u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

    JAWABAN : C

  2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

    A. 65m

    B. 70m

    C. 75m

    D. 77m

    E. 80m

    PEMBAHASAN :

    Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

    Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

    Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

    Pantulan pertama = 10 x ¾ = 30/4 m (suku pertama)

    S_\infty = \frac{a}{1-r}

        = \frac{\frac{30}{4}}{1-\frac{3}{4}}

        = \frac{\frac{30}{4}}{\frac{1}{4}} = 30

    P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

    JAWABAN : B

  3. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

    A. 378

    B. 390

    C. 570

    D. 762

    E. 1.530

    PEMBAHASAN :

    u1 = a = 6

    u7 = ar6 = 384

    6.r6 = 384

    r6 = 64 => r = 2

    Sn = \frac{a(r^n-1)}{r-1}

    S7 = \frac{6(2^7-1)}{2-1}

       = \frac{6(128-1)}{2-1} = 762

    JAWABAN : D

  4. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

    A. 100

    B. 125

    C. 200

    D. 225

    E. 250

    PEMBAHASAN :

    Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

    Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

    Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

    Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)

    S_\infty = \frac{a}{1-r}

        = \frac{20}{1-\frac{4}{5}}

        = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100

    P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

    JAWABAN : D

  5. Jumlah deret geometri tak hingga \sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{2} + ½ + … = …

    A. 2/3 (\sqrt{2} + 1)

    B. 3/2 (\sqrt{2} + 1)

    C. 2 (\sqrt{2} + 1)

    D. 3 (\sqrt{2} + 1)

    E. 4 (\sqrt{2} + 1)

    PEMBAHASAN :

    r = u2 / u1 = 1 / \sqrt{2} = ½ \sqrt{2}

    S_{\infty} = \frac{a}{1-r}

        = \frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}

        = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

    S_{\infty} = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} x \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}

        = \frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}

        = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{2}

        = 2(\sqrt{2} + 1$

    JAWABAN : C

  6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

    A. 7/4

    B. ¾

    C. 4/7

    D. ½

    E. ¼

    PEMBAHASAN :

    Deret geometri    :     a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

    Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2.

    S_{\infty} = \frac{a}{1-r}

      7 = \frac{a}{1-r}

    7(1 – r) = a … (i)

    Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“.

    Sgenap = \frac{ar}{1-r^2}

        3 = \frac{ar}{1-r^2}

    3(1 – r2) = ar … (ii)

    Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh :

    3(1 – r2) = (7(1 – r))r

    3 – 3r2 = 7r – 7r2

    4r2 – 7r + 3 = 0

    (4r-3)(r-1) = 0

    r = ¾ atau r = 1

    substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh :

    untuk r = ¾

          a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4

    untuk r = 1

          a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

    JAWABAN : A

  7. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

    A. 324

    B. 486

    C. 648

    D. 1.458

    E. 4.374

    PEMBAHASAN :

    tahun 1996 => u1 = a = 6

    tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

    6.r2 = 54

    r2 = 9 => r = 3

    tahun 2001 => u6 = ar5

              6.(3)5 = 1.458

    JAWABAN : D

  8. Diketahui barisan geometri dengan u1 = x ¾ dan u4 = x\sqrt{x}. Rasio barisan geometri tesebut adalah …

    A. x2.\sqrt[4]{x}

    B. x2

    C. x1/4

    D. \sqrt{x}

    E. \sqrt[3]{x}

    PEMBAHASAN :

    u4 = x\sqrt{x} = x3/2

    u4 / u1 = x3/2 / x ¾ = x ¾

    r 3 = x ¾ => r = x 1/4

    JAWABAN : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.


About these ads

18 comments on “Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA”

Tinggalkan Balasan

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Ubah )

Batal

Connecting to %s