Nilai Mutlak (Absolute Value)


Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk |x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut

|a| := \left\{\begin{matrix} a \qquad if \quad a > 0\\ 0 \qquad if \quad a = 0\\ -a \quad if \quad a < 0 \end{matrix}\right.

Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :

  1. |5| = 5
  2. |0| = 0
  3. |-8| = 8

Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a| \geq 0 untuk semua a \epsilon \mathbb{R}, dan |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a \epsilon \mathbb{R}.

Teorema :

(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

(b) |a|2 = a2 untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

(c) jika c \geq 0 maka |a| \leq c jika dan hanya jika –c \leq a \leq c

(d) -|a| \leq a \leq |a| untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

Bukti :

(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu

untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0

untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|

untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) = |a||b|

untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||b|

untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|

(b) karena a2 \geq 0 maka berlaku a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2

(c) jika |a| \leq c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a \leq c dan -a \leq c, ini ekuivalen dengan –a \leq c \leq a. Kemudian jika –a \leq c \leq a maka berlaku a \leq c dan -a \leq c sehingga |a| \leq c.

(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |a| \leq |a| dan berlaku a \leq |a| dan -a \leq |a|, hal ini ekivalen dengan –a \leq |a| \leq a

Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Jika a, b \epsilon \mathbb{R} maka |a + b| \leq |a| + |b|

Bukti :

Dari Teorema (d) kita punya -|a| \leq a \leq |a| dan -|b| \leq b \leq |b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b| \leq |a| + |b|

Akibat (Corollary)

Jika a, b \epsilon \mathbb{R} maka

(a) ||a| – |b|| \leq |a – b|

(b) |a – b| \leq |a| + |b|

Bukti :

(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| – |b| \leq |a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a| \leq |b – a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a| \leq |b – a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|) \geq -|b – a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a – b| \leq |a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b|| \leq |a – b|.

(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi –b, maka diperoleh |a + (-b)| \leq |a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a – b| \leq |a| + |b|

Kemudian jika –a \leq c \leq a maka berlaku a \leq c dan -a \leq c sehingga |a| \leq c

About these ads

2 comments on “Nilai Mutlak (Absolute Value)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s