Nilai Mutlak (Absolute Value)


Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk |x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut

|a| := \left\{\begin{matrix} a \qquad if \quad a > 0\\ 0 \qquad if \quad a = 0\\ -a \quad if \quad a < 0 \end{matrix}\right.

Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :

  1. |5| = 5
  2. |0| = 0
  3. |-8| = 8

Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a| \geq 0 untuk semua a \epsilon \mathbb{R}, dan |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a \epsilon \mathbb{R}.

Teorema :

(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

(b) |a|2 = a2 untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

(c) jika c \geq 0 maka |a| \leq c jika dan hanya jika –c \leq a \leq c

(d) -|a| \leq a \leq |a| untuk setiap a, b \epsilon \mathbb{R}

Bukti :

(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu

untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0

untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|

untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) = |a||b|

untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||b|

untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|

(b) karena a2 \geq 0 maka berlaku a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2

(c) jika |a| \leq c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a \leq c dan -a \leq c, ini ekuivalen dengan –a \leq c \leq a. Kemudian jika –a \leq c \leq a maka berlaku a \leq c dan -a \leq c sehingga |a| \leq c.

(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |a| \leq |a| dan berlaku a \leq |a| dan -a \leq |a|, hal ini ekivalen dengan –a \leq |a| \leq a

Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Jika a, b \epsilon \mathbb{R} maka |a + b| \leq |a| + |b|

Bukti :

Dari Teorema (d) kita punya -|a| \leq a \leq |a| dan -|b| \leq b \leq |b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b| \leq |a| + |b|

Akibat (Corollary)

Jika a, b \epsilon \mathbb{R} maka

(a) ||a| – |b|| \leq |a – b|

(b) |a – b| \leq |a| + |b|

Bukti :

(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| – |b| \leq |a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a| \leq |b – a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a| \leq |b – a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|) \geq -|b – a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a – b| \leq |a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b|| \leq |a – b|.

(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi –b, maka diperoleh |a + (-b)| \leq |a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a – b| \leq |a| + |b|

Kemudian jika –a \leq c \leq a maka berlaku a \leq c dan -a \leq c sehingga |a| \leq c

About these ads

6 comments on “Nilai Mutlak (Absolute Value)

  1. Right now it looks like WordPress is the top blogging platform available right now. from what I’ve read Is that what you’re using on your blog? dgadaedeeebeecbe

  2. I appreciate, cause I found just what I was looking for. You have ended my 4 day long hunt! God Bless you man. Have a nice day. Bye fkddekfdeefa

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s