Asal Mula Bilangan Irrasional


Photobucket

Bilangan Rasional adalah subset dari Bilangan Riil yang didefinisikan sebagai bentuk \frac{b}{a} dengan a, b \epsilon \quad \mathbb{Z} dan b \neq 0. Himpunan semua Bilangan Rasional akan dinotasikan dengan \mathbb{Q}.

Dalam Bilangan Riil, terdapat bilangan yang bukan merupakan Bilangan Rasional. Bilangan ini awalnya ditemukan pada abad keenam Sebelum Masehi, masyarakat Yunani kuno yang merupakan perkumpulan “Phytagoreans” menemukan bahwa diagonal dari hasil kuadrat sisi siku-siku segitiga tidak dapat diekspresikan sebagai perbandingan bilangan bulat. Berdasarkan Teorema Phytagoras, hal ini berakibat kuadrat dari yang bukan Bilangan Rasional sama dengan 2. Penemuan ini berdampak besar bagi perkembangan ilmu matematika. Oleh karena itu, konsekuensi elemen dari \mathbb{R} yang bukan \mathbb{Q} dinamakan Bilangan Irrasional. Untuk pembuktian \sqrt{2} merupakan Bilangan Irrasional, silahkan baca di blognya Adimath17.

Kasus yang menarik perhatian saya pada Bilangan Irrasional ini adalah jika x adalah Bilangan Rasional dan y adalah Bilangan Irrasional, maka x + y adalah Bilangan Rasional.

Untuk membuktiannya saya akan menggunakan Pembuktian Kontradiksi.

misal x := \frac{p}{q} dan x + y = rasional \Leftrightarrow \frac{p}{q} + y = \frac{r}{s}. Berakibat y = \frac{r}{s}-\frac{p}{q} = \frac{qr-ps}{rs}. Misal qr-ps = m dan rs = maka y = \frac{m}{n} dengan n \neq 0. Artinya y adalah Bilangan Rasioanl. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan, maka y haruslah Bilangan Irrasional.

About these ads

3 comments on “Asal Mula Bilangan Irrasional

  1. Ping-balik: Problem (9) : Fungsi | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Pembuktian Akar 2 Secara Geometri | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Pembuktian Akar 2 Bilangan Irrasional Secara Geometri | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s