Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (7)


  1. Jika A679B adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72 maka nilai bilangan tersebut adalah …

    PEMBAHASAN :

    72 = 8 x 9

    = 23 x 9

    Artinya bahwa bilangan A679B harus habis dibagi 8, tapi dalam hal ini bilangan ratusan (sebab 23) harus habis dibagi 8.

    Kemungkinan dari bilangan 79B adalah :

    791 : 8 = sisa 7

    792 : 8 = habis dibagi

    793 : 8 = sisa 1

    794 : 8 = sisa 2

    795 : 8 = sisa 3

    796 : 8 = sisa 4

    797 : 8 = sisa 5

    798 : 8 = sisa 6

    799 : 8 = sisa 7

    Karena 792 habis dibagi 8, maka diperoleh B = 2.

    Sehingga bilangannya menjadi A6792. Kemudian untuk pembagi 9, hasil jumlah digit bilangan dibagi 9, sehingga menjadi :

    A + 6 + 7 + 9 + 2 = A + 24

    Agar A + 24 habis dibagi 9 maka nilai A yang mungkin hanya 3.
    jadi bilangan tersebut adalah 36792

  2. Nilai n sehingga 2n + 1 membagi 3 adalah …

    PEMBAHASAN :

    untuk n = 1 maka 21 + 1 = 3 (habis dibagi 3)

    untuk n = 2 maka 22 + 1 = 5 (tidak habis dibagi 3)

    untuk n = 3 maka 23 + 1 = 9 (habis dibagi 3)

    untuk n = 4 maka 24 + 1 = 17 (tidak habis dibagi 3)

    untuk n = 5 maka 25 + 1 = 33 (habis dibagi 3)

    untuk n = 6 maka 26 + 1 = 65 (tidak habis dibagi 3)

    untuk n = 7 maka 27 + 1 = 129 (habis dibagi 3)

    Dari pola diatas, dapat disimpulkan bahwa n yang memenuhi adalah n = 2m – 1 dengan m = 1, 2, 3, …

  3. a2 + b2 = 6ab. Berapakah nilai \frac{a+b}{a-b} ?

    PEMBAHASAN :

    a2 + b2 = 6ab (tambahkan kedua ruas dengan 2ab)

    a2 + b2 + 2ab = 6ab + 2ab

    (a + b)(a + b) = 8ab

    (a + b)2 = 8ab

    a2 + b2 = 6ab (kurangkan kedua ruas dengan 2ab)

    a2 + b2 – 2ab = 6ab – 2ab

    (a – b)(a – b) = 4ab

    (a – b)2 = 4ab

    \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{8ab}{4ab}

    (\frac{a+b}{a-b})^2 = 2

    \frac{a+b}{a-b} = \sqrt{2} atau \frac{a+b}{a-b} = -\sqrt{2}

  4. Diketahui suatu barisan un = 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + … . sehingga beberapa suku awal dari barisan tersebut u1 = 6, u2 = 18, u3 = 38, u4 = 68, u5 = 110. Tentukan nilai dari u20 !

    PEMBAHASAN :

    Konstruksi barisan tersebut seperti dibawah ini.

    Karena barisan tersebut merupakan Barisan Aritmatika Bertingkat yaitu tingkat tiga, dengan m0 = 6, m1 = 12, m2 = 8 dan m3 = 2 maka digunakan rumus seperti ini.

    Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)m_3}{3!}

    = \frac{6}{1} + \frac{(n-1)12}{1} + \frac{(n-1)(n-2)8}{2} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)2}{3!}

    = 6 + 12n-12 + (n^2-3n+2)4 + \frac{(n^3-3n^2+2n-3n^2+9n-6)}{3}

    = \frac{18}{3} + \frac{36n-36}{3} + \frac{12n^2-36n+24}{3} + \frac{n^3-6n^2+11n-6}{3}

    = \frac{n^3+6n^2+11n}{3}

  5. Hasil pembagian dari \frac{(2n)!}{2^n.1.3.5...(2n-3)(2n-1)} adalah …

    PEMBAHASAN :

    \frac{(2n)!}{2^n.1.3.5...(2n-3)(2n-1)} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)...3.2.1}{2^n.1.3.5...(2n-3)(2n-1)}

    = \frac{(2n)(2n-2)(2n-4)...4.2}{2^n}

    = \frac{(2n)(2(n-1))(2(n-2))...2(2)2(1)}{2^n}

    = \frac{2^n(n)(n-1)(n-2)...(2)(1)}{2^n}

    = (n)(n – 1)(n – 2) … (2)(1)

    = n!

  6. Berapakah hasil perkalian (1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2}) ... (1-\frac{1}{2003^2}) = …

    PEMBAHASAN :

    (1-\frac{1}{2^2}) (1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{4^2}) ... (1-\frac{1}{2002^2}) (1-\frac{1}{2003^2})

    = (\frac{2^2-1}{2^2})(\frac{3^2-1}{3^2}) (\frac{4^2-1}{4^2}) (\frac{2002^2-1}{2003^2}) (\frac{2003^2-1}{2003^2})

    = \frac{(2-1)(2+1)}{2.2} . \frac{(3-1)(3+1)}{3.3} . \frac{(4-1)(4+1)}{4.4} \frac{(2001-1)(2001+1)}{2001.2001} . \frac{(2002-1)(2002+1)}{2002.2002} . \frac{(2003-1)(2003+1)}{2003.2003}

    = \frac{1.3}{2.2} . \frac{2.4}{3.3} . \frac{3.5}{4.4} \frac{2000.2002}{2001.2001} . \frac{2001.2003}{2002.2002} . \frac{2002.2004}{2003.2003}

    = (\frac{1}{2})(\frac{2004)}{2003})

    = \frac{1002}{2003}

About these ads

6 comments on “Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (7)

  1. Ping-balik: MATEMATIKA | jovi.handika

  2. sob, tanya nomor 1, di soal tertera kalimat “Jika A679B adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72″ tapi jawaban no 1 itu, tidak habis kalau di bagi 72. gimana tuh?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s