Interpolasi Newton


Seperti pada tulisan sebelumnya yang membahas masalah Interpolasi Lagrange, dimana interpolasi secara umum digunakan untuk mengkonstruksi suatu fungsi dari himpunan titik yang diberikan atau yang telah diketahui. Pada tulisan ini akan dibahas interpolasi yang kedua yaitu Interpolasi Newton.

Misal diberikan dua pasangan titik yaitu (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)) dengan x0 \neq x1. Maka dengan menggunakan persamaan garis (P1(x)) yang telah diturunkan pada Interpolasi Lagrange dengan 2 titik, diperoleh

P1(x) = [\frac{x-x_1}{x_0-x_1}] y0 + [\frac{x-x_0}{x_1-x_0}] y1

= [\frac{x-x_1+x_0-x_0}{x_0-x_1}] y0 + [\frac{x-x_0}{x_1-x_0}] y1

= [\frac{x-x_0}{x_0-x_1}] y0 + [\frac{-x_1+x_0}{x_0-x_1}] y0 + [\frac{x-x_0}{x_1-x_0}] y1

= [\frac{-(x-x_0)}{x_1-x_0}] y0 + y0 + [\frac{x-x_0}{x_1-x_0}] y1

= y0 + [\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}] (x – x0)

P1(x) = a0 + a1(x – x0)

dengan a1 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} atau a1 = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} dan bentuk ini dinamakan bentuk selisih terbagi (divided differences) dan dapat ditulis a1 = f[x1, x0]

Kemudian Interpolasi Newton untuk 3 titik yaitu (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) dan (x1, f(x1)) dengan x0 \neq x1 \neq x2 atau menggunakan polinom derajat 2 diperoleh

P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)

Substitusi titik-titik (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) dan (x2, f(x2)) ke P2(x)

f(x0) = a0 + a1(x0 – x0) + a2(x0 – x0)(x0 – x1)

f(x0) = a0 + a1(0) + a2(0)(0)

a0 = f(x0)

= f[x0]

f(x1) = a0 + a1(x1 – x0) + a2(x1 – x0)(x1 – x1)

f(x1) = f(x0) + a1(x1 – x0) + a2(x1 – x0)(0)

a1 = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

= \frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}

= f[x0, x1]

f(x2) = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)

f(x2) = f(x0) + [\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}] (x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)

a2(x2 – x0)(x2 – x1) = f(x2) – f(x0) + f(x1) – f(x1) – [\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}] (x2 – x0)

= [\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}] (x2 – x1) + [\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}] (x1 – x0) – [\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}] (x2 – x0)

= [\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}] (x2 – x1) + [\frac{(f(x_1)-f(x_0))(x_1)-(f(x_1)-f(x_0))(x_0)}{x_1-x_0}] [\frac{(f(x_1)-f(x_0))(x_2)-(f(x_1)-f(x_0))(x_0)}{x_1-x_0}]

= [\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}] (x2 – x1) – [\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}] (x2 – x1)

a2(x2 – x0) = (\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}) (\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})

a2 = \frac{(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1})-(\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})}{x_2-x_0}

= \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}

Jadi tahap pembentukan rumus Interpolasi Newton adalah sebagai berikut

P1(x) = a0 + a1(x – x0)

P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)

P3(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2)

.

.

.

Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1)(x – xn)

dengan selisih terbaginya masing-masing

a0 = f[x0] = f(x0) = y0

a1 = f[x0, x1] = \frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0} = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

a2 = f[x0, x1, x2] = \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}

a3 = f[x0, x1, x2, x3] = \frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}

.

.

.

an = f[x0,..., x3] = \frac{f[x_1,...,x_n]-f[x_0,...,x_{n-1}]}{x_n-x_0}

Contoh :

Konstruksikan fungsi f(x) = cos x dari titik-titik x0 = 0.2, x1 = 0.3 dan x2 = 0.4 menggunakan Interpolasi Newton

Penyelesaian :

a0 = f[x0] = f(0.2) = cos (0.2) = 0.98

a1 = f[x0, x1] = \frac{cos(0.3)-cos(0.2)}{0.3-0.2}

= \frac{0.9553-0.98}{0.1}

= -0.247

f[x1, x2] = \frac{cos(0.4)-cos(0.3)}{0.4-0.3}

= \frac{0.9211-0.9553}{0.1}

= -0.332

a2 = f[x0, x1, x2] = \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}

= \frac{-0.332-(-0.247)}{0.4-0.2}

= -0.425

P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)

= 0.98 – 0.247(x – 0.2) – 0.425(x – 0.2)(x – 0.3)

= 0.98 – 0.247x + 0.0494 – 0.425x2 + 0.2125x – 0.0255

= 1.0039 – 0.0345x – 0.425x2

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s