Pembuktian Rumus Luas Lingkaran


Sejak duduk dibangku sekolah dasar hingga sekarang Rumus Luas Lingkaran tidak ada perubahan dan sudah sering juga digunakan, tapi mungkin diantara kita banyak yang bertanya, darimana asal Rumus Luas Lingkaran tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dalam tulisan ini akan mencoba membuktikan Rumus Luas Lingkaran dengan memandang lingkaran dalam koordinat kartesius. Persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y = \sqrt{r^2-x^2}. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran. Untuk mencari luasnya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r.

Photobucket

Luas = 4 \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-(r.sin \theta)^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-r^2.sin^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2(1-sin^2 \theta)} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2.cos^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r r.cos\theta dx

Karena sin \theta = \frac{x}{r} , berakibat x = r.sin \theta, turunkan kedua ruas maka dx = r.cos\theta d\theta, substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 4 \int_0^r r.cos\theta (r.cos\theta d\theta)

= 4 \int_0^r r2.cos2\theta d\theta

= 4r2 \int_0^r (\frac{1+cos2\theta}{2}) d\theta

= 2r2 \int_0^r (1 + cos 2\theta) d\theta

= 2r2 (\theta + \frac{1}{2} sin 2\theta) \mid_0^r

= 2r2 (\theta + sin \theta cos \theta) \mid_0^r

Substitusi sin \theta = \frac{x}{r} , cos \theta = \frac{r^2-x^2}{r} dan \theta = sin-1(\frac{x}{r})

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + \frac{x}{r} \frac{r^2-x^2}{r} ) \mid_0^r

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + x\frac{r^2-x^2}{r^2} ) \mid_0^r

= 2r2 [(sin-1(\frac{r}{r}) + r\frac{r^2-r^2}{r^2} ) - (sin-1(\frac{0}{r}) + 0\frac{r^2-0^2}{r^2} )]

= 2r2 [(sin-1(1) + 0) - (sin-1(0) + 0)]

= 2r2[\frac{\pi}{2} + 0) - (0\pi + 0)]

= \pir2

About these ads

8 comments on “Pembuktian Rumus Luas Lingkaran

  1. Ping-balik: Pembuktian Rumus Volume Bola | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Pembuktian Rumus Luas Elips | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Pembuktian Rumus Luas Lingkaran- part 2 « Noviana De Be

  4. Ping-balik: Pembuktian Luas Lingkaran | indah dwi

  5. Ping-balik: Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga | Math IS Beautiful

  6. Ping-balik: Pembuktian Rumus Volume Bola menggunakan Integral - Rumus Matematika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s