Turunan log x, ln x, a^x dan e^x ?


Turunan alog x berapa? ln x? ax? ex? Ketika ditanya turunan dari fungsi-fungsi itu, sempat terdiam karena memang saya tidak tahu, tapi mencoba untuk menjabarkan dengan bantuan Definisi Turunan. Berikut penurunannya.

f'(x) = lim \sb{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

ambil f(x) = alog x

= lim_{h \to 0} \frac{^{a}log(x+h)-^alog \quad x}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{^{a}log(\frac{x+h}{x})}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{^{a}log(1+\frac{h}{x})}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{^{a}log(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}x}

= lim_{h \to 0} \frac {\frac{x}{h} \quad ^{a}log(1+\frac{h}{x})}{x}

= lim_{h \to 0} \frac {^{a}log(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}}{x}

= \frac{lim_{h \to 0} \quad ^{a}log(1 + \frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}}{lim_{h \to 0}x}

karena lim_{h \to 0} log(f(x)) = log \quad lim_{h \to 0} f(x) dan lim_{h \to 0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}} = e

= \frac {^alog(e)}{x}

= \frac {1}{^elog(a)x}

karena elog a = ln a, maka

= \frac{1}{x \quad ln(a)}

Bagaimana dengan turunan ln x?

Dengan memanfaatkan sifat turunan alog x diatas yaitu \frac{d(^alog \quad x)}{dx} = \frac{1}{x \quad ln(a)} , sekarang kita substitusi a = e, sehingga diperoleh

\frac{d(^elog \quad x)}{dx} = \frac{1}{x \quad ln(e)}

karena ln(e) = 1, maka

\frac{d(ln \quad x)}{dx} = \frac{1}{x}

Jadi turunan ln x = \frac{1}{x}

Turunan ax ?

ambil f(x)= ax

dengan memanfaatkan sifat turunan ln, yaitu dengan ln-kan kedua ruas, sehingga diperoleh

ln f(x) = ln ax

ln f(x) = x ln a [Sifat Dasar Logaritma]

Dx(ln f(x)) = Dx(x ln a)

\frac{1}{f(x)} d(f(x)) = ln a dx

\frac{d(f(x))}{dx} = f(x) ln a

\frac{d(a^x)}{dx} = ax ln a

Turunan ex ?

f(x)= ex

disini kita juga memanfaatkan sifat turunan ln, yaitu dengan ln-kan kedua ruas, sehingga diperoleh

ln f(x) = ln ex

ln f(x) = x ln e [INGAT : ln e = 1]

Dx(ln f(x)) = Dx(x)

\frac{1}{f(x)} d(f(x)) = dx

\frac{d(f(x))}{dx} = f(x)

\frac{d(e^x)}{dx} = ex

About these ads

3 comments on “Turunan log x, ln x, a^x dan e^x ?

  1. Ping-balik: Integral log x, ln x, dan e^x | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s