Bukti Rumus Trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b)


Tulisan kali ini mencoba untuk membuktikan salah satu Sifat Dasar Trigonometri yaitu sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta. Pembuktian yang saya lakukan pada tulisan ini yaitu melalui ilustrasi segitiga dengan memanfaatkan Rumus Luas Segitiga dan trigonometri dasar pada segitiga. Perhatikan gambar dibawah ini

Photobucket

Dari gambar diatas kita pandang sebagai dua segitiga siku-siku seperti pada gambar dibawah ini

Photobucket

Dari gambar diatas diperoleh

sin \alpha = \frac{AO}{AC}

= \frac{x}{b}

b sin \alpha = x

cos \alpha = \frac{CO}{AC}

= \frac{t}{b}

b cos \alpha = t

sin \beta = \frac{BO}{BC}

= \frac{y}{a}

a sin \beta = y

cos \beta = \frac{CO}{BC}

= \frac{t}{a}

a cos \beta = t

Seperti terlihat pada gambar segitiga pertama diatas, diperoleh luas segitiga sebagai berikut

Luas \triangleABC = \frac{1}{2} a b sin (\alpha + \beta) [Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut apit]

Luas \triangleAOC = \frac{1}{2} CO AO

= \frac{1}{2} t x

= \frac{1}{2} a cos \beta b sin \alpha

Luas \triangleBOC = \frac{1}{2} CO BO

= \frac{1}{2} t y

= \frac{1}{2} b cos \alpha a sin \beta

karena Luas \triangleABC = Luas \triangleAOC + Luas \triangleBOC, maka diperoleh

\frac{1}{2} a b sin (\alpha + \beta) = \frac{1}{2} a cos \beta b sin \alpha + \frac{1}{2} b cos \alpha a sin \beta

\frac{1}{2} a b sin (\alpha + \beta) = \frac{1}{2} a b [cos \beta sin \alpha + cos \alpha sin \beta]

sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta

bagaimana pembuktian untuk sin (a – b) ? Dengan memanfaatkan hasil pembuktian diatas yaitu dengan mensubstitusi \beta = -\gamma, sehingga diperoleh

sin (\alpha + (-\gamma)) = sin \alpha cos (-\gamma) + cos \alpha sin -\gamma

-\gamma artinya \gamma berada pada kuadran IV, dengan hanya cosinus yang bernilai positif, sehingga

sin (\alpha\gamma) = sin \alpha cos \gamma + cos \alpha (-sin \gamma)

= sin \alpha cos \gamma – cos \alpha sin \gamma

About these ads

4 comments on “Bukti Rumus Trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b)

  1. Ping-balik: Pembuktian Rumus Trigonometri cos(a + b) dan cos(a – b) | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Penurunan Rumus tan(a + b) dan tan (a – b) | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Pembuktian Rumus Trigonometri cos(a + b) dan cos(a – b) | italyaku

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s