Berapa cos 18 derajat ?


Melanjutkan dari tulisan sebelumnya yaitu bagaimana mencari sin 180, sekarang pada tulisan ini mencoba untuk mencari nilai dari cos 180. Dalam mencari nilai ini dibutuhkan sedikit manipulasi aljabar dengan memanfaatkan sifat-sifat dasar trigonometri.

misal 180 = x, maka

cos 900 = cos 5x

= cos (4x + x)

= cos 4x cos x – sin 4x sin x

= cos (2.2x) cos x – sin (2.2x) sin x

= (2 cos2 2x – 1) cos x – 2 sin 2x cos 2x sin x

= (2 (cos 2x)2 – 1) cos x – 2 (2 sin x cos x) (2 cos2 x – 1) sin x

= (2(2 cos2 x – 1)2 – 1)cos x – 4 sin2 x cos x (2 cos2 x – 1)

= (2(4 cos4 x – 4 cos2 x + 1) – 1)cos x – 4(1 – cos2 x)cos x (2 cos2 x – 1)

= (8 cos4 x – 8 cos2 x + 2 – 1) cos x – 4 cos x (2 cos2 x – 1 – 2 cos4 x + cos2 x)

= (8 cos4 x – 8 cos2 x + 1) cos x – (8 cos3 x – 4 cos x – 8 cos5 x + 4 cos3 x)

= 8 cos5 x – 8 cos3 x + cos x – 8 cos3 x + 4 cos x + 8 cos5 x – 4 cos3 x

= 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

cos 900 = 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

0 = 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

misal : cos x = m

0 = 16m5 – 20m3 + 5m

0 = (16m4 – 20m2 + 5)m

16m4 – 20m2 + 5 = 0 atau m = 0 [artinya cos x = 0 (tidak mungkin)]

16m4 – 20m2 + 5 = 0

misal m2 = y

16y2 – 20y + 5 = 0

dengan menggunakan Rumus Kecap, maka

y1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

= \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2-4.16.(5)}}{2.16}

= \frac{20 \pm \sqrt{400-320}}{32}

= \frac{20 \pm \sqrt{80}}{32}

= \frac{20 \pm 4\sqrt{5}}{32}

= \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}

y1 = \frac{5-\sqrt{5}}{8} atau y2 = \frac{5+\sqrt{5}}{8} .

m1,2 = \pm \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8} \times \frac{2}{2}}

= \pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

m1 = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} atau m2 = -\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} [tidak mungkin karena m2 bernilai negatif]

m3,4 = \pm \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

m3 = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} atau m4 = -\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} [tidak mungkin karena m4 bernilai negatif]

nilai dari cos 180 adalah \frac{\sqrt{10 \pm 2\sqrt{5}}}{4} . Tapi jika kita menghitung menggunakan kalkulator, maka nilai cos 180 yang sesuai adalah \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

atau bisa juga kita manfaatkan hasil dari sin 180 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} dan menggunakan sifat dasar identitas trigonometri cos2 x + sin2 x = 1.

cos2 180 + sin2 180 = 1

cos2 180 = 1 – sin2 180

= 1 – (\frac{-1 + \sqrt{5}}{4})^2

= \frac{16}{16} \frac{1-2\sqrt{5}+5}{16}

= \frac{16}{16} \frac{6-2\sqrt{5}}{16}

= \frac{2\sqrt{5}+10}{16}

cos 180 = \pm \frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4}

cos 180 = \frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4} atau cos 180 = -\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4} [tidak mungkin cos 180 bernilai negatif]

jadi cos 180 = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

About these ads

20 comments on “Berapa cos 18 derajat ?

  1. Asslamualaikum… mas saya mw bertanya boleh share gmn menyelesaikan soal ne gak??
    a.nilai dari integral x kwdrat cot kwdrt x =
    b. sin kwdrt 10 + sin kwdrat 20 + sin kwdrat 30 +…sin kwdrt 90 =
    tolong ya mas,,, share kan pemecahannya

    • \int x^2.cot^2x dx
      misal : u = x^2 ==> du = 2x
      dv = cot^2x dx ==> v = -cot x – x
      = x^2 (-cot x – x) – \int (-cot x – x) 2x dx
      = -x^2 cot x – x^3 + \int 2x cot x dx + \int 2x^2 dx
      = ..
      parsial lagi untuk menyelesaikan \int 2x cot x dx

      cos 56 + (sin 56 . tan 28) = cos 56 + (2 sin 28 cos 28 (sin 28 / cos 28))
      = cos 56 + 2 sin 28 sin 28
      = cos 2.28 + 2 sin^2 28
      = (cos^2 28 – sin^2 28) + 2 sin^2 28
      = (1 – sin^2 28 – sin^2 28) + 2 sin^2 28
      = (1- 2 sin^2 28) + 2 sin^2 28
      = 1

  2. Salah ketik mas,, ne yg bnr nya
    y - b = m(x - a) \pm \sqrt {r^2 (1 + m^2 )}
    rumus pers garis singgung lingkaran dgn gradien m
    penurunan mka dpty rmus tersebut apa ya mas??

  3. saya sudah ketemu penurunan rumus nya mas,,, yg mas kirim blm lengkap,, tp thank udh mmbntu mas,, oya,, nm saya hendra cipta mas bkn hendra sucipto.
    Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
    1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
    2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
    , diperoleh :
    (x-a)^2+((mx+n)-b)^2=r^2
    x^2-2ax+a^2+m^2x^2+n^2+b^2+2mnx-2bmx-2bn-r^2=0
    (1+m^2)x^2-2(a-mn+bm)x+(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)=0

    Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah:
    D=(2(a-mn+bm))^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)
    D=4(a-mn+bm)^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)

    3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0
    D=b^2-4ac
    4(a-mn+bm)^2-4(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2)=0
    (a-mn+bm)^2-(1+m^2)(a^2+n^2+b^2-2bn-r^2=0
    a^2+m^2n^2+b^2m^2-2amn+2abm-2bm^2n-a^2-n^2-b^2+2bn+r^2-a^2m^2-m^2n^2-b^2m^2+2bm^2n+m^2r^2=0
    -2amn+2abm-n^2-b^2+2bn+r^2-a^2m^2+m^2r^2=0
    2amn-2abm+n^2+b^2-2bn-r^2+a^2m^2-m^2r^2=0
    (n^2+a^2m^2+b^2+2amn-2bn-2abm)-r^2(1+m^2)=0
    (n+am-b)^2=r^2(1+m^2)
    (n+am-b)= \pm r \sqrt{1+m^2}
    n=(-am+b) \pm r \sqrt{1+m^2}

    3. Substitusi n=(-am+b) \pm r \sqrt{1+m^2} kepersamaan garis y = mx + n diperoleh:
    y=mx+(-am+b) \pm r\sqrt{1+m^2}
    y=mx-am+b \pm r \sqrt{1+m^2}
    (y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt{1+m}^2

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s