Garis Berat pada Segitiga


Tulisan kali ini saya persembahkan untuk rekan saya Lutfi Creativesys. Sebelumnya dia pernah nge-request dan ngasi tulisan tentang ini tapi saya belum puas dengan tulisan yang dikasi karena segitiga yang digunakan yaitu segitiga sama sisi, sehingga saya ingin menuliskan pembuktian Garis Berat ini dengan ilustrasi segitiga sembarang (ketiga sudutnya lancip). Yang ingin melihat tulisannya, silahkan baca di DISINI. Pada tulisan saya ini saya menggunakan segitiga sembarang agar terlihat berlaku secara umum. Ok, sekarang perhatikan \triangleABC dibawah ini.

Photobucket

Segitiga ABC diatas memiliki tinggi AD dan Garis Berat AE. Dari gambar diatas diperoleh persamaan

AD2 = AB2 – BD2 … (i)

AD2 = AC2 – CD2 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh

AC2 – CD2 = AB2 – BD2

AC2 – CD2 = AB2 – (BC – CD)2 [perhatikan : BD = BC – CD]

AC2 – CD2 = AB2 – (BC2 – 2.BC.CD + CD2)

AC2 – CD2 = AB2 – BC2 + 2.BC.CD – CD2

2.BC.CD = AC2 + BC2 – AB2

CD = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC} … (iii)

atau

AC2 – CD2 = AB2 – BD2

AC2 – (BC – BD)2 = AB2 – BD2 [perhatikan : CD = BC – BD]

AC2 – (BC2 – 2.BC.BD + BD2) = AB2 – BD2

AC2 – BC2 + 2.BC.BD – BD2 = AB2 – BD2

2.BC.BD = AB2 + BC2 – AC2

BD = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC} … (iv)

kemudian substitusi (iv) ke (i), sehingga diperoleh

AD2 = AB2 – BD2

AD = \sqrt{AB^2-(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC})^2} … (v)

setelah itu substitusi (iii) ke (ii), sehingga diperoleh

AD2 = AC2 – CD2

AD = \sqrt{AC^2-(\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC})^2} … (vi)

Perhatikan \triangleABC diatas, kita dapat peroleh garis berat AE melalui hubungan garis AD dan CD, yaitu

AE = \sqrt{AD^2+DE^2}

= \sqrt{AD^2+(DC-CE)^2} [perhatikan : DE = DC - CE]

= \sqrt{AD^2+(DC-\frac{1}{2}BC)^2} [perhatikan : CE = BE dan CE = \frac{1}{2}BC]

= \sqrt{AD^2+DC^2-DC.BC+\frac{1}{4}BC^2}

= \sqrt{AC^2-DC.BC+\frac{BC^2}{4}} [karena (ii)]

= \sqrt{AC^2-\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2}+\frac{BC^2}{4}} [karena (iii)]

= \sqrt{\frac{4AC^2}{4}-\frac{2AC^2+2BC^2-2AB^2}{4}+\frac{BC^2}{4}}

= \sqrt{\frac{1}{4}(2AC^2+2AB^2-BC^2)}

= \frac{1}{2} \sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}

Jadi jika kita memiliki segitiga seperti dibawah ini, maka rumus Garis Berat nya adalah

Photobucket

.

\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat AD

\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat BE

\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat CF

.

Apa ada yang bertanya apakah rumus garis berat pada segitiga lainnya seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi dan segitiga tumpul sama seperti kasus ini ? Jawabanya, iya sama. Terus pembuktian pada kasus segitiga tumpul bagaimana ? Silahkan dicoba, pembuktiannya sama dengan tulisan ini.

About these ads

3 comments on “Garis Berat pada Segitiga

  1. Ping-balik: Garis Berat Segitiga | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s