Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu (1)


Tulisan ini spesial buat pengunjung blog Math Is Beautiful, khusunya mas Hendra Cipto. Semoga tulisan ini bermanfaat. Dalam tulisan ini saya akan mencoba membuktikan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan gradien m. Pertama, perhatikan gambar dibawah ini.

gambar menyusul

gambar diatas menjelaskan bahwa lingkaran dengan titik pusat di (a, b), dengan jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) disinggung oleh garis g. Seperti yang kita ketahui bahwa persamaan umum lingkaran dengan pusat (a, b) dan jar-jari r yaitu (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan misal garis g \equiv (y – b) = m(x – a) + n.

Pertama substitusi terlebih dahulu persamaan garis singgung (y – b) = m(x – a) + n ke persamaan umum lingkaran, sedemikian sehingga

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – a)2 + (m(x – a) + n)2 = r2

(x – a)2 + m2(x – a)2 + 2m(x – a)n + n2 = r2

(m2 + 1)(x – a)2 + 2mn(x – a) + (n2 – r2) = 0

ambil d := x – a, sehingga

(m2 + 1)d2 + 2mnd + (n2 – r2) = 0

syarat menyinggung adalah D = 0

b2 – 4ac = 0

(2mn)2 - 4(m2 + 1)(n2 – r2) = 0

4m2n2 – 4m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0

4m2r2 + 4r2 = 4n2

n2 = m2r2 + r2

n = \sqrt{r^2(m^2+1)}

= \pm r\sqrt{m^2+1}

substitusi ke persamaan garis singgung lingkaran, sedemikian sehingga

(y – b) = m(x – a) \pm r\sqrt{m^2+1}

About these ads

One comment on “Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu (1)

  1. Ping-balik: Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2) | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s