Pembuktian Panjang Garis Bagi pada Segitiga


Sebelumnya saya kemarin sudah posting tentang pembuktian ini, tetapi pembuktianku kurang begitu memuaskan. Nah sekarang disini saya mau merevisi lagi. Ok langsung saja ya….. ayo kita mulai!!!!

untuk membuktikan panjang garis bagi segitiga, kita akan mengkonstruksi segitiganya yaitu \triangleABC dalam sebuah lingkaran, kemudian ditarik garis CD dan perpanjang sedemikian sehingga memotong lingkaran di titik E dan membentuk \triangleBCE, selengkapnya perhatikan gambar dibawah ini.

Photobucket

Dari gambar diatas, diketahui AC = b, BC = a, AB = c, CD = d, AD = x, BD = y, \angleBAC = \alpha, \angleABC = \beta dan \angleACB = \gamma.

Disini kita akan membuktikan beberapa sifat untuk memperkuat pembuktian, langsung saja disimak.

a. akan dibuktikan \triangleACD \sim \triangleEBD

dalam pembuktian ini akan memanfaatkan sudut pusat dan sudut keliling, dimana Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling. Seperti yang terlihat pada gambar diatas, bahwa \angleAOE, \angleBOE, \angleBOC dan \angleAOC merupakan sudut pusat. Untuk membuktikan \triangleACD \sim \triangleEBD, terlebih dahulu akan ditunjukkan akan dibuktikan \angleDAC = \angleDEB dan \angleDCA = \angleDBE.

Langkah Awal :

\angleAOE = 2 \angleACE

= \angleACB

= \gamma

\angleDBE = \angleABE

= 1/2 \angleAOE

= 1/2 \angleACB

= 1/2 \gamma

\angleBOE = 2 \angleBCE

= 2 (1/2 \gamma) [karena \angleBOE = \angleACB]

= \gamma

\angleBAC = 1/2 \angleBOC dan \angleBEC = 1/2 \angleBOC maka \angleBAC = \angleBEC

(i) akan dibuktikan \angleDAC = \angleDEB

\angleDEB = \angleCEB

= 1/2 \angleBOC

= 1/2 (2 \angleBAC)

= 1/2 (2 \alpha)

= \alpha

Terbukti \angleDAC = \angleDEB

(ii). akan dibuktikan \angleDCA = \angleDBE

\angleABE = \angleDBE

= 1/2 \angleAOE

= 1/2 (2 \angleACE)

= 1/2 (2 \angleACD)

= 1/2 (2 . 1/2 \angleACB)

= 1/2 \angleACB

= 1/2 \gamma

Terbukti \angleDCA = \angleDBE

berdasarkan Teorema AAA (Angle Angle Angle), maka \triangleACD \sim \triangleEBD

b. akan dibuktikan \triangleBED \sim \triangleCEB (\angleDEB = \angleBEC dan \angleBDE = \angleADC)

dari gambar diatas terlihat bahwa \angleBEC = \angleDEB, dengan \angleDEB = \angleBED

\angleDEB = 1/2 \angleBOC

= 1/2 (2 \angleBAC)

= 1/2 (2 \alpha)

= \alpha

\angleDBE = \angleABE

= 1/2 \angleAOE

= 1/2 \angleACB

= 1/2 \gamma

= \angleACD

\angleCBE = 1800 – (\angleECB + \angleCEB)

= 1800 – (1/2 \gamma + \alpha)

\angleBDE = \angleADC [sudut bertolak belakang]

\angleEDB = \angleADC

= 1800 – (\angleDAC + \angleACD)

= 1800 – (\alpha + 1/2 \gamma)

\angleCBE = \angleADC = \angleEDB

Karena \angleDEB = \angleBEC, \angleBDE = \angleCBE dan \angleDBE = \angleBCE. Sehingga berdasarkan Teorema AAA, \triangleBED \sim \triangleCEB.

Karena \triangleACD \sim \triangleEBD, maka diperoleh

\frac{ED}{AD} = \frac{BD}{CD} = \frac{EB}{AC}

\frac{DE}{x} = \frac{y}{d} = \frac{EB}{b} … (1)

Karena \triangleBED \sim \triangleCEB, maka diperoleh

\frac{BD}{CB} = \frac{ED}{EB} = \frac{BE}{CE}

\frac{y}{a} = \frac{ED}{EB} = \frac{EB}{CE} … (2)

dari (1), diperoleh :

\frac{y}{d} = \frac{EB}{b} \Rightarrow EB = \frac{b.y}{d} … (3)

\frac{DE}{x} = \frac{y}{d} \Rightarrow DE = \frac{x.y}{d} … (4)

dari (2), diperoleh :

\frac{y}{a} = \frac{EB}{CE} \Rightarrow EB = \frac{CE.y}{a} … (5)

substitusi pers (3) ke pers (5), diperoleh

\frac{b.y}{d} = \frac{CE.y}{a}

CE = \frac{a.b}{d} … (6)

dari gambar lingkaran diatas, diketahui

DE = CE – CD

= \frac{a.b}{d} – d

= \frac{a.b-d^2}{d} … (7)

kemudian substitusi pers (4) ke pers (7), diperoleh

\frac{x.y}{d} = \frac{a.b-d^2}{d}

xy = ab – d2

Panjang Garis Bagi : d2 = ab – xy

selengkapnya bisa dilihat DISINI

Penulis : Lutfi Creativesys (diedit oleh @aimprof08)

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s