Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Eksak (Faktor Integral)


Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)

dan memenuhi syarat

\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu

u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 … (ii) Baca lebih lanjut

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen


Persamaan Diferensial Tidak Homogen adalah PD yang mempunyai bentuk

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 … (i)

dengan a, b, c, p, q, r adalah konstanta.

Untuk menyelesaikan PD tersebut, terlebih dahulu harus perhatikan kemungkian-kemungkinan yang terjadi, yaitu :

(a) jika \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp \neq 0

(b) jika \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp = 0

(c) jika \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = m Baca lebih lanjut

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen


f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = kn f(x, y) dengan k adalah konstanta.

Contoh :

  1. f(x, y) = x + 3y

    f(kx, ky) = kx + 3ky

    = k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1

  2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x)

    f(kx, ky) = eky/kx + tan (ky/kx)

    = k0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0

  3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2

    f(kx, ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

    = k2 (x2 + 2xy + y2), , fungsi homogen pangkat n Baca lebih lanjut

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah


Persamaan Diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel terikatnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut PD peubah terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya, tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD peubah tak terpisah. Suatu PD orde satu yang peubahnya tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan PD peubah terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.

Bentuk umum dengan peubah-peubah terpisah dapat ditulis sebagai berikut M(x) dx + N(y) dy = 0. Oleh karena itu, variabel-variabel telah terpisah dan penyelesaian PD diatas adalah dengan mengintegralkan suku demi suku yaitu \int M(x) dx + \int N(y) dy = C, dengan C adalah konstanta sebarang. Baca lebih lanjut

Membentuk Persamaan Diferensial


Setelah menjelaskan apa itu Persamaan Diferensial ? masalah selanjutnya adalah “bagaimana membentuk Persamaan Diferensial ?”. Persamaan diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang terdapat dalam suatu persamaan atau dengan cara substitusi. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan contoh – contoh dibawah ini.

Carilah Persamaan Diferensial dari persmaan-persamaan dibawah ini.

  1. y = Ax

    Penyelesaian :

    Karena konstanta sembarangnya ada satu yaitu A, maka order tertinggi dari derivatfnya adalah satu, sehingga diturunkan persamaannya sekali, sehingga diperoleh

    \frac{dy}{dx} = A … (i) Baca lebih lanjut

Persamaan Diferensial


Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas disebut.

Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu

  1. PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan

f(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},...,\frac{d^ny}{dx^n})=0

Contoh :

Persamaan \frac{dy}{dx} + xy = 0 dan \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x. Baca lebih lanjut