Teknik Integral : Integral dengan Melengkapi Bentuk Kuadrat


Teknik integral ini berpedoman pada kenyataan :

x2 + 2bx + c = (x2 + 2bx + b2) + (c – b2)

           = (x + b)2 + (c – b2)

Maka persoalan integral yang membuat bentuk x2 + 2bx + c dibawa ke bentuk u2 + k2 atau k2 – u2 , lalu diselesaikan.

Contoh 1.

  1. \int \dfrac{1}{x^2+2x+10} dx = \int \dfrac{1}{(x^2+2x+1)+9} dx

    = \int \dfrac{1}{(x^2+2x+1)+3^2} dx

    = \int \dfrac{1}{(x+1)^2+3^2} d(x + 1)

    = \dfrac{1}{3} tan-1 (\dfrac{x+1}{3}) + C

  2. \int \dfrac{x+3}{\sqrt{5+4x-x^2}} dx = \int \dfrac{x+3}{\sqrt{9-(x^2-4x+4)}} dx

    = \int \dfrac{x-2+5}{\sqrt{3^2-(x-2)^2}} dx

    = \int \dfrac{x-2}{\sqrt{3^2-(x-2)^2}} dx + 5 \int \dfrac{1}{\sqrt{3^2-(x-2)^2}} dx

    = \int \dfrac{x-2}{\sqrt{3^2-(x-2)^2}} d(x – 2) + 5 \int \dfrac{1}{\sqrt{3^2-(x-2)^2}} d(x – 2)

    perhatikan suku pertama menghasilkan bentuk :

    \int \dfrac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} du = -\sqrt{a^2-u^2} + C … (i)

    melalui substitusi b = a2 – u2

    sedangkan suku kedua berbentuk :

    \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} du = sin-1 (\dfrac{u}{a}) + C … (ii)

    Dari (i) dan (ii) diperoleh :

    = -\sqrt{9-(x-2)^2} + 5 sin-1 (\dfrac{x-2}{3}) + C

Perlu dinyatakan bahwa untuk persoalan-persoalan integral yang memuat bentuk kuadrat, jika bentuk kuadrat tersebut bisa difaktorkan, disarankan menggunakan teknik integral fungsi rasional. Tetapi bila bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan, maka teknik melengkapi bentuk kuadrat akan lebih berguna.

Contoh 2.

\int \dfrac{1}{x^2-3x+2} dx = …

    akan relative lebih sederhana menggunakan bentuk :

        \int \dfrac{1}{x^2-3x+2} dx = \int (\dfrac{-1}{x-1} + \dfrac{1}{x-2}) dx

    dibandingkan dengan membawanya ke bentuk :

        \int \dfrac{1}{x^2-3x+2} dx = \int \dfrac {1}{(x-3/2)^2-1/4} dx

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s