Teknik Integral : Integral Fungsi Rasional


Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk \frac{p(x)}{q(x)} , dengan p(x) dan q(x) masing-masing suatu polinom derajat m dan n, (m < n).

p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + ... + p_m x^m , p_m \neq 0 disebut polynomial derajat m.

Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk \frac{p(x)}{q(x)} menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial q(x). Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.

Contoh :

\int \frac{2x+1}{x^2-3x+2} dx = \int \frac{2x+1}{(x-1)(x-2)} dx

= \int \frac{A}{x-1} dx + \int \frac{B}{x-2} dx

A dan B dapat dicari melaui hubungan :

\frac{2x+1}{x^2-3x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}

= \frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}

\Leftrightarrow 2x + 1 = A(x – 2) + B(x  -1)

\Leftrightarrow 2x + 1 = (A + B)x – 2A – B

\Leftrightarrow (A + B) = 2 dan -2A – B = 1

\Leftrightarrow A = -3 dan B = 5

= \int \frac{-3}{x-1} dx + \int \frac{5}{x-2} dx

misal : u = x – 1 \Rightarrow du = dx

v = x – 2 \Rightarrow dv = dx

= \int \frac{-3}{u} du + \int \frac{5}{v} dv

= -3 ln(u) + 5 ln(v) + C

= -3 ln(x-1) + 5 ln(x-2) + C

= ln \frac{(x-2)^5}{(x-1)^3} + C

Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk \frac{p(x)}{q(x)} sebagai berikut :

  1. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk (ax+b)^k, maka penguraian factor tersebut berbentuk :

    \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} +...+ \frac{A_k}{(ax+b)^k}

  2. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk (ax^2 + bx + c)^k , maka penguraian factor tersbut berbentuk :

    \frac{A_1 x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2 x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} +...+ \frac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}

Agar lebih jelas tentang aturan tersebut, diberikan contoh-contoh berikut :

Contoh :

  1. \frac {2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1} = \frac{2x^3+x^2+2x-1}{(x-1)(x+1)(x^+1)}

    = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}

    dengan A = B = D = 1 dan C = 0

  2. \frac {3x^3 - 8x +13}{(x+3)(x-1)^2} = \frac {A}{x+3} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}

    dengan A = 4, B = -1, dan C = 2

  3. \frac {6x^3 - 15x +22}{(x+3)(x^2-2)^2} = \frac {A}{x+3} + \frac{B}{x^2+2} + \frac{C}{(x^2-2)^2}

    dengan A = 1, B = -1, C = 3 D = -5 dan E = 0.

Untuk kasus nbm yaitu derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial q(x), maka sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan lebih dulu.

Contoh :

\int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx = …

Dalam hal ini p(x) = x3 – 1 berderajat 3 dan q(x) = x3 + x juga berderajat 3.

\int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx = \int (1 + \frac{-1}{x} + \frac{x-1}{x^2+1}) dx

= \int 1 dx + \int \frac{-1}{x} dx + \int \frac{x-1}{x^2+1} dx

= \int 1 dx – \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{x}{x^2+1} d\frac{x^2+1}{2x}\int \frac{1}{x^2+1}

= \int 1 dx – \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} d(x2 + 1) – \int \frac{1}{x^2+1}

= x – ln x + \frac{1}{2} ln(x2 + 1) – tan-1 x + C

5 comments on “Teknik Integral : Integral Fungsi Rasional

  1. gan mau tanya kalo aturan buat menyelesaikan derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial q(x) itu apa aja? klo yg di atas belum terlalu paham cara ngerjainnya.
    terima kasih atas jawabannya.

    • \frac{p(x)}{q(x)}
      dibagi aja dulu gan, kan nnti ada ‘hasil bagi’ dan ‘sisa pembagian’, kemudian ‘hasil bagi’ nya di integral seperti biasa karena berbentuk polinom derajat n dan ‘sisa pembagian’ nya di integralkan seperti pada postingan ini.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s