Secara umum dinyatakan bahwa integral-integral yang memuat fungsi trigonometri, dapat diselesaikan dengan memanfaatkan rumus-rumus trigonometri sederhana :
sin mx . cos nx = sin mx . sin nx = cos mx . cos nx = |
|
sin2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = sec2 x 1 + cot2 x = csc2 x |
sin2 x = cos2 x = |
Contoh :
-
sin5 x dx =
sin4 x . sin x dx
=
(1 – cos2 x)2 . sin x dx
=
(1 – cos2 x)2 . sin x dx
=
(1 – 2 cos2 x + cos4 x) (sin x dx)
misal u = cos x maka du = -sin x kemudian substitusi
=
(1 – 2 u2 x + u4 x) (-du)
= –
(1 – 2 u2 x + u4 x) du
= -[u –
u3 +
u5 x] + C
substitusi u = cos x, sehingga diperoleh
= -[cos x –
cos3 x +
cos5 x] + C
= -cos x +
cos3 x –
cos5 x] + C
-
cos4 x dx =
dx
=
(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
misal u = 2x maka du = 2 dx atau du/2 = dx (untuk cos 2x)
dan v = 4x maka dv = 4 dx atau dv/4 = dx (untuk cos 4x)
=
[
1 dx +
2 cos u (du/2) +
dx +
cos v (dv/4)]
=
[
1 dx +
cos u du +
dx +
cos v dv]
=
[x +
sin u +
x +
sin v)]
substitusi u = 2x dan v = 4x sehingga diperoleh
=
[x +
sin 2x +
x +
sin 4x]
=
x +
sin 2x +
x +
sin 4x
=
x +
sin 2x +
sin 4x + C
-
sin2 x . cos3 x dx =
sin2 x . cos2 x . cos x dx
=
sin2 x (1 – sin2 x) cos x dx
=
(sin2 x – sin4 x) (cos x dx)
misal sin x = u maka cos x dx = du, kemudian substitusi
=
(u2 – u4) du
=
u3 –
u5 + C
substitusi u = sin x, diperoleh
=
sin3 x –
sin5 x + C
-
sin2 x . cos4 x dx =
dx
=
(1 – cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
=
(1 + cos 2x – cos2 2x – 2 cos3 2x) dx
misal 2x = u maka 2 dx = du
=
(1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) (du/2)
=
(1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) du
=
(u – sin u + sin2 u + 2 sin3 u) + C
substitusi u = 2x, diperoleh
=
x –
sin 2x +
sin2 2x +
sin3 2x + C
-
sin 3x . cos 4x =
(sin 7x + sin(-x)) dx
=
(sin 7x – sin x) dx
=
sin 7x dx –
sin x dx
misal 7x = u maka 7 dx = du, kemudian substitusi (untuk sin 7x)
=
sin u (du/7) –
sin x dx
=
cos u +
cos x + C
substitusi u = 7x, diperoleh
=
cos 7x +
cos x + C
Ada beberapa persoalan integral trigonometri yang langsung dapat ditangani menggunakan teknik substitusi.
Contoh :
-
sin 3x . cos 3x dx =
sin 3x . (cos 3x dx)
misal sin 3x = u maka 3 cos 3x dx = du, kemudian substitusi
=
u (du/3)
=
u du
=
u2 + C
substitusi u = sin 3x, diperoleh
=
sin2 3x + C
-
tan x dx =
dx
=
sin x dx
misal cos x = u maka -sin x dx = du
=
(-du)
= -ln |u| + C
substitusi u = cos x, diperoleh
= -ln |cos x| + C
-
sec x dx =
sec x
dx
=
(sec2 x + sec x tan x)dx
misal sec x + tan x = u maka (sec2 x + sec x tan x) dx = du (Turunan Aturan Perkalian), kemudian substitusi
=
du
= ln |u| + C
substitusi u = sec x + tan x
= ln |sec x + tan x| + C
assalamualaikum. mau nanya kak bagaimana mengintegralkan sin x cos x akar 1 + sin^2 x dx makasi.
wasalam
misalkan

dan 
dari bentuk ini, selesaikan dengan integral pasial, misalkan
Silahkan lanjutkan sendiri
Ass. Kak, aku mau nanya kalo metode integral trigonometri untuk menentukan : integral sec x – tan x pangkat 2 . Itu Gimana.. Mksh
seperti ini
? atau 
Ass. Ka bisa bantu jawab ngga … Integral cos pangkat 2 (3×) dx =??
kemudian selesaiakan dgn Integral Substitusi
Maaf mau bertanya, untuk no 2, int cos u du kenapa bisa jadi 1/2 sin u ya ? Makasih
terimakasih mas atas pertanyaannya, sprtinya sya keliru, nanti sya coba perbaiki
bisa tolong bantu untuk penyelesaian soal ini?
tentukan integral 0 hingga phi dari sin x cos mx dx, dimana m adalah integer
terima kasih
coba perhatikan tulisan saya ini yg paling atas, dsana sudah ada rumusnya.
kak bisa tolong gak, kalau int sin^5x cos 2x dx gimana ya?