Teorema Dasar Kalkulus


Teorema :

Jika f kontinyu pada [a, b] dan F anti turunan f pada [a, b] maka \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a)

Bukti :

Akan ditunjukkan \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}f(\hat{x_{k}})\bigtriangleup x_{k} = F(b) – F(a)

Diambil P, n-partisi pada [a, b], yaitu :

a = x0 < x1 < x2 < … < xk-1 < xk < … < xn-1 < xn = b

Perhatikan :

F(b) – F(a) = F(xn) – F(x0)

            = \sum_{k=1}^{n} [F(xk) – F(xk-1)]

Mengingat f kontinyu pada [a, b], maka F juga kontinyu pada interval tersebut sebab F antiturunan f. Berarti F kontinyu pada tiap sub interval [xk-1, xk] , k = 1, 2, .., n. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan, maka terdapat titik \hat{x_{k}} \quad \epsilon (xk-1 ,xk) sedemikian sehingga.

        F'(\hat{x_{k}}) = \frac{F(x_{k})-F(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}

        \Leftrightarrow F(xk) – F(xk-1) = F'(\hat{x_k})(xk – xk-1)

        \Leftrightarrow F(xk) – F(xk-1) = f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk

Jadi diperoleh :

    F(b)-F(a) = \sum_{k=1}^{n} [F(xk) – F(xk-1)]

              = \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk

dan bila kedua ruas diambil \left \| P \right \|\rightarrow 0 maka :

    \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} [F(b) – F(a)] = \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk

    F(b) – F(a) = \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk \blacksquare

Dengan Teorema Dasar Kalkulus untuk integral tersebut, maka perhitungan integral untuk fungsi-fungsi kontinyu, tidak lagi serumit perhitungan integral menggunakan Jumlah Rienmann dan semua hasil perhitungan integral tertentu dapat dimanfaatkan.

Fungsi-fungsi yang memenuhi Teorema Dasar Kalkulus tersebut kadang disebut juga fungsi terintegral Newton.

Akibat
Teorema Dasar Kalkulus :

  1. \int_{a}^{a} dx = 0
  2. \int_{b}^{a} f(x) dx = –\int_{a}^{b} f(x) dx
  3. \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

One comment on “Teorema Dasar Kalkulus

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s