Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (1)


1.  Diketahui persamaan matriks \begin{pmatrix} 5&-2\\ 9&-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&-1\\ x&x+y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}. Nilai x-y = \ldots

A. \dfrac{5}{2}

B. \dfrac{15}{2}

C. \dfrac{19}{2}

D. \dfrac{22}{2}

E. \dfrac{23}{2}

Pembahasan

\begin{pmatrix} 5&-2\\ 9&-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&-1\\ x&x+y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 10-2x & -5-2x-2y\\ 18-4x & -9-4x-4y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

Diperoleh,

10-2x = 1 \Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}

-5-2x-2y = 0 \Leftrightarrow -5-2 \left(\dfrac{9}{2} \right) -2y = 0 \Leftrightarrow y=-7

Jadi, x-y = \dfrac{9}{2}-(-7) = \dfrac{23}{2}

Jawaban : E

2.  Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3&2\\ 0&5 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} -3&-1\\ -17&0 \end{pmatrix} Jika A^T = transpose matriks A dan AX=B+A^T, maka determinan matriks X = \ldots

A. -5

B. -1

C. 1

D. 5

E. 8

Pembahasan

Jika A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} maka A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}

A^{-1} = \dfrac{1}{3(5)-2(0)} \begin{pmatrix} 5&-2\\ 0&3 \end{pmatrix}

= \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 5&-2\\ 0&3 \end{pmatrix}

A^{T} = \begin{pmatrix} 3&0\\ 2&5 \end{pmatrix}

AX=B+A^T (kalikan A^{-1} kedua ruas dari kiri)

A^{-1}AX=A^{-1}(B+A^T)

X=A^{-1}(B+A^T)

= \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 5&-2\\ 0&3 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} -3&-1\\ -17&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3&0\\ 2&5 \end{pmatrix} \right)

= \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 5&-2\\ 0&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ -15&5 \end{pmatrix}

= \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 30&-15\\ -45&15 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 2&-1\\ -3&1 \end{pmatrix}

det(X) = 2(1)-(-1)(-3) = -1

Jawaban : B

3.  Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah …

A. 308

B. 318

C. 326

D. 344

E. 354

Pembahasan

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_4 = a+3b = 110

u_9 = a+8b = 150

   —————–  –

   -5b = -40

   b=8

Substitusi nilai b=8 ke u_4, diperoleh

a+3(8) = 110 \Rightarrow a=66

u_{30}= 66+(29)8 = 66+232 = 318

Jawaban : B

4.  Seseorag penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan ada …

A. 1.050 kg

B. 1.200 kg

C. 1.350 kg

D. 1.650 kg

E. 1.750 kg

Pembahasan

Soal ini merupakan soal aplikasi dari materi barisan aritmetika, karena terdapat kata kunci “selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya”, itu artinya barisan ini memiliki beda yang tetap, yaitu b=10 dengan suku awal a=120. Dalam hal ini, kita akan mencari jumlah 10 suku pertama.

S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{10} = \dfrac{10}{2}(2(130)+(10-1)10)

= 10(130+(9)5)

= 10(130+45)

= 10(175) = 1.750

Jawaban : E

5.  Grafik y = px^2+(p+2)x-p+4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …

A. p<-2 atau p>-\dfrac{2}{5}

B. p<\dfrac{2}{5} atau p>2

C. p<2 atau p>10

D. \dfrac{2}{5}<p<2

E. 2<p<10

Pembahasan

memotong sumbu X di dua titik artinya D > 0

b^2-4ac > 0

(p+2)^2-4(p)(-p+4) > 0

p^2+4p+4-4(-p^2+4p) > 0

p^2+4p+4+4p^2-16p > 0

5p^2-12p+4 > 0

(5p-2)(p-2) > 0

p=\dfrac{2}{5} atau p=2.

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh p<\dfrac{2}{5} atau p>2.

Jawaban : B

6.  Akar-akar persamaan 2x^2+mx+16=0 adalah \alpha dan \beta. Jika \alpha = 2\beta dan \alpha>0 maka nilai m = \ldots

A. -12

B. -6

C. 6

D. 8

E. 12

Pembahasan

Bentuk Persamaan Kuadrat : x^2-(\alpha+\beta)x+(\alpha \beta) = 0

Substitusi \alpha dan \beta dengan \alpha = 2\beta, diperoleh

x^2-(\alpha+\dfrac{1}{2}\alpha)x+(\alpha \dfrac{1}{2} \alpha) = 0

x^2-\dfrac{3}{2}\alpha x+\dfrac{1}{2} \alpha^2 = 0 … (i)

Karena koefeisen x^2 adalah 2, maka persamaan (i) di atas tersebut diubah sedemikian hingga koefisien pers (i) itu sama dengan 2, yaitu dengan mengalikan 2 pada pers (i), diperoleh

2x^2-3\alpha x+\alpha^2 = 0

Perhatikan : 2x^2-(-m)x+16=0

Sehingga diperoleh

3\alpha = -m dan \alpha^2 = 16

Karena \alpha dan \beta bilangan positif, maka \alpha + \beta = 3\alpha = -m > 0 dan \alpha \cdot \beta = 3\alpha = \alpha^2 = 16 > 0. Perhatikan,

\alpha^2 = 16 \Rightarrow \alpha = \pm 4

Untuk \alpha = 4                             

3\alpha = -m

-m = 12 > 0 \Rightarrow m=-12

Jawaban : A

7.  Diketahui premis-premis

(1) Jika hari hujan maka ibu memakai payung

(2) Ibu tidak memakai payung

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …

A. Hari tidak hujan

B. Hari hujan

C. Ibu memakai payung

D. Hari hujan dan Ibu memakai payung

E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung

Pembahasan

Misal : p = hari hujan, q = ibu memakai payung.

p \Rightarrow q

\sim q

——————

\therefore \sim p

Jadi, kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Jawaban : A

8.  Akar-akar persamaan 3x^2-12x+2=0 akar-akar \alpha dan \beta. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\alpha+2) dan (\beta+2) adalah …

A. 3x^2-24x+38=0

B. 3x^2+24x+38=0

C. 3x^2-24x-38=0

D. 3x^2-24x+24=0

E. 3x^2-24x-24=0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : 3x^2-12x+2=0

\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a} = 4 dan \alpha \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}

Bentuk Persamaan Kuadrat Baru : x^2-((\alpha+2)+(\beta+2))x + ((\alpha+2)(\beta+2)) = 0

x^2-(\alpha+\beta+4)x + (\alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4) = 0

x^2- (4+4)x + \left( \dfrac{2}{3} + 2(4) + 4 \right) = 0

x^2 -8x + \dfrac{38}{3} = 0

3x^2-24x+38 = 0

Jawaban : A

9.  Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-6x+4y-12=0 di titik (7,1) adalah …

A. 3x-4y-41=0

B. 4x+3y-55=0

C. 4x-5y-53=0

D. 4x+3y-31=0

E. 4x-3y-40=0

Pembahasan

Persamaan Garis Singgung : (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2

x^2+y^2-6x+4y-12=0

x^2-6x+y^2+4y-12=0

x^2-2(3x)+y^2+2(2y)-12=0

(x^2-2(3x)+9)-9+(y^2+2(2y)+4)-4-12=0

(x-3)^2+(y+2)^2 = 25

Diperoleh pusat (3,-2) dan jari-jari = 5

(7-3)(x-3)+(1-(-2))(y-(-2)) = 25

4(x-3)+3(y+2) = 25

4x-12+3y+6 = 25

4x+3y-31 = 0

Jawaban : D

10.Bentuk sederhana dari \dfrac{7 x^{3} y^{-4} z^{-6}}{84 x^{-7} y^{-1} z^{-4}} = \ldots

A. \dfrac{x^{10} z^{10}}{12y^3}

B. \dfrac{z^2}{12 x^4 y^3}

C. \dfrac{x^{10}y^5}{12z^2}

D. \dfrac{y^3 z^2}{12 x^4}

E. \dfrac{x^{10}}{12 y^3 z^2}

Pembahasan

\dfrac{7 x^{3} y^{-4} z^{-6}}{84 x^{-7} y^{-1} z^{-4}} = \dfrac{7}{84} x^{3+7} y^{-4+1} z^{-6+4}

= \dfrac{7}{84} x^{10} y^{-3} z^{-2}

= \dfrac{x^{10}}{12 y^{3} z^{2}}

= \dfrac{4x^{8}}{y^{6} z^{4}}

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s