Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (2)


1.  Bentuk sederhana dari \dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-3\sqrt{3}} = \ldots

A. \dfrac{20+5\sqrt{15}}{22}

B. \dfrac{23-5\sqrt{15}}{22}

C. \dfrac{20-5\sqrt{15}}{22}

D. \dfrac{20+5\sqrt{15}}{-22}

E. \dfrac{23+5\sqrt{15}}{-22}

Pembahasan

\dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-3\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}+3\sqrt{3}}{\sqrt{5}+3\sqrt{3}}

= \dfrac{5+3\sqrt{15}+2\sqrt{15}+6.3}{5-9.3}

= \dfrac{5+\sqrt{15}+18}{5-27}

= \dfrac{23+\sqrt{15}}{-22}

Jawaban : E

2.  Nilai x yang memenuhi persamaan ^{\frac{1}{2}}\log (x^2-3)- ^{\frac{1}{2}}\log x = -1

A. x=-1 atau x=3

B. x=1 atau x=-3

C. x=1 atau x=3

D. x=1 saja

E. x=3 saja

Pembahasan

^{\frac{1}{2}}\log (x^2-3)- ^{\frac{1}{2}}\log x = -1

^{\frac{1}{2}}\log \left( \dfrac{x^2-3}{x} \right) = ^{\frac{1}{2}}\log \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1}

\dfrac{x^2-3}{x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1}

\dfrac{x^2-3}{x} = 2

x^2-3 = 2x

x^2-2x-3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

x = 3 atau x=-1

Jawaban : A

3.  Diketahui f(x) = 2x+5 dan g(x) = \dfrac{x-1}{x+4}, x \neq -4, maka (fog)(x)=\ldots

A. \dfrac{7x+2}{x+4}, x \neq -4

B. \dfrac{2x+3}{x+4}, x \neq -4

C. \dfrac{2x+2}{x+4}, x \neq -4

D. \dfrac{7x+18}{x+4}, x \neq -4

E. \dfrac{7x+22}{x+4}, x \neq -4

Pembahasan

(fog)(x) = f(g(x))

= f\left(\dfrac{x-1}{x+4} \right)

= 2\left(\dfrac{x-1}{x+4} \right) + 5

= \dfrac{2x-2}{x+4} + \dfrac{5x+20}{x+4}

= \dfrac{7x+18}{x+4}

Jawaban : D

4.  Diketahui (x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor suku banyak P(x)=x^3+ax^2-13x+b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x_1, x_2, dan x_3 untuk x_1 > x_2 > x_3 maka nilai x_1-x_2-x_3 = \ldots

A. 8

B. 6

C. 3

D. 2

E. -4

Pembahasan

(x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor suku banyak P(x)=x^3+ax^2-13x+b, artinya P(2)=0 dan P(1)=0. Perhatikan

P(2) = 2^3 + a(2)^2 -13(2) + b

0 = 8 + 4a -26 + b

18 = 4a + b … (i)

P(1) = 1^3 + a(1)^2 -13(1) + b

0 = 1 + a -13 + b

12 = a + b … (ii)

Subtitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

18 = 4a + (12-a)

6 = 3a \Rightarrow a = 2

Kemudian substitusi a=2 ke pers (ii), diperoleh b=12-2 = 10. Sehingga diperoleh P(x) = x^3+2x^2-13x+10. Perhatikan

\dfrac{x^3+2x^2-13x+10}{x-1}=x^2+3x-10

x^2+3x-10 = (x+5)(x-2)

Sehingga diperoleh, x_1=2, x_2=1, x_3=-5.

Jadi, x_1-x_2-x_3 = 2-1-(-5) = 6

Jawaban : B

5.  Nilai \dfrac{\cos 140^0 -\cos 100^0}{\sin 140^0 -\sin 100^0} = \ldots

A. -\sqrt{3}

B. -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}

C. -\dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

E. \sqrt{3}

Pembahasan

\cos A -\cos B = -2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \sin \dfrac{1}{2}(A-B)

\sin A -\sin B = 2 \cos \dfrac{1}{2}(A+B) \sin \dfrac{1}{2}(A-B)

\dfrac{\cos 140^0 + \cos 100^0}{\sin 140^0 + \sin 100^0} = \dfrac{-2 \sin \dfrac{1}{2} (140^0+100^0) \sin \dfrac{1}{2} (140^0-100^0)}{2 \cos \dfrac{1}{2} (140^0+100^0) \sin \dfrac{1}{2}(140^0-100^0)}

= \dfrac{-2 \sin 120^0 \sin 20^0}{2 \cos 120^0 \sin 20^0}

= \dfrac{-\sin 120^0}{\cos 120^0}

= \dfrac{-(-\dfrac{1}{2} \sqrt{3})}{\dfrac{1}{2}}

= \sqrt{3}

Jawaban : E

6.  Suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah …

A. 90 kg

B. 80 kg

C. 75 kg

D. 70 kg

E. 60 kg

Pembahasan

Misal : x = hasil kebun Pak Ahmad, y = hasil kebun Pak Badrun, z = hasil kebun Pak Yadi.

z-15 = x … (i)

z+15 = y … (ii)

x+y+z = 225 … (iii)

Elminasi pers (i) dan (ii), diperoleh

z-15 = x

z+15 = y

——————————   –

x-y = -30 … (iv)

Elminasi pers (ii) dan (iii), diperoleh

y-z = 15

x+y+z = 225

—————————-   +

x+2y = 240 … (v)

Selanjutnya substitusi pers (iv) ke pers (v), diperoleh

x+2y = 240

\Leftrightarrow x+2(x+30) = 240

\Leftrightarrow 3x+60 = 240

\Leftrightarrow x = 60

Jawaban : A

7.  Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin V. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …

A. Rp12.000,00

B. Rp14.000,00

C. Rp16.000,00

D. Rp18.000,00

E. Rp20.000,00

Pembahasan

Model matematika :

5x + 10y = 25

3x + y = 5

Fungsi Tujuan : f(x,y) = 4.000x +8.000y

5x + 10y = 25 (x1)

3x + y = 5    (x10)

—————————  –

5x + 10y = 25

30x + 10y = 50

—————————  –

-25x = -25

\Leftrightarrow x=1

Sehingga diperoleh y=2

Jadi, diperoleh titik-titik sebagai berikut (1,2), (0,\dfrac{5}{2}), (\dfrac{5}{3},0), (0,0).

f(1,2) = 4.000(1)+8.000(2) = 20.000

f(0,0) = 4.000(0)+8.000(0) = 0

f(0,\dfrac{5}{2}) = 4.000(0)+8.000(\dfrac{5}{2}) = 20.000

f(\dfrac{5}{2},0) = 4.000(\dfrac{5}{3})+8.000(0) = \dfrac{20.000}{3}

Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp20.000

Jawaban : E

8.  Persamaan bayangan garis y=2x-3 karena refleksi terhadap garis y=-x, dilanjutkan refleksi terhadap y=x adalah …

A. y+2x-3=0

B. y-2x-3=0

C. 2y+x-3=0

D. 2y-x-3=0

E. 2y+x+3=0

Pembahasn

refleksi terhadap y=-x

\begin{pmatrix} x'\\ y' &\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y &\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -y\\-x &\end{pmatrix}

refleksi terhadap y=x

\begin{pmatrix} x''\\ y'' &\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\y' &\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -y\\-x &\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -x\\-y &\end{pmatrix}

Hasil transformasi

y'=2x'-3

-y=2(-x)-3

y-3x-3 = 0

Jawaban : B

9.  Diketahui suku banyak P(x)=2x^4+ax^3-3x^2+5x+b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b) = \ldots

A. 13

B. 10

C. 8

D. 7

E. 6

Pembahasan

Perhatikan

P(x)= 2x^4+ax^3-3x^2+5x+b

P(1) = 2(1)^4 + a(1)^3 -3(1)^2 + 5(1) + b = 11

2 + a -3 + 5 + b = 11

a+b = 7 … (i)

P(-1) = 2(-1)^4 + a(-1)^3 -3(-1)^2 + 5(-1) + b = -1

2 -a -3 -5 + b = -1

-a+b = 5 … (ii)

Subtitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

a + (5+a) = 7

2a = 2 \Rightarrow a = 1

Kemudian substitusi a=1 ke pers (ii), diperoleh b=5+1 = 6. Jadi, 2a+b = 2(1)+6 = 8

Jawaban : C

10.Perhatikan gambar!

 un_math_2011_20

Persamaan grafik fungsi intersnya adalah …

A. y = 3^x

B. y = \dfrac{1}{3}^x

C. y = 3^{\frac{1}{x}}

D. y = \dfrac{1}{2}^x

E. y = 2^x

Pembahasan

y = ^a\log x Perhatikan bahwa titik koordinat pada grafik : (1,0) dan (8,-3). Diperoleh

0 = ^a\log 1 \Rightarrow 1 = a^0

-3 = ^a\log 8

\Leftrightarrow 8 = a^{-3}

\Leftrightarrow 2^3 = \dfrac{1}{a^3}

\Leftrightarrow 2 = \dfrac{1}{a}

\Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}

Sehingga diperoleh y = ^{\frac{1}{2}} \log x

Selanjutnya akan dicari invers dari y.

Misal m = ^{\frac{1}{2}} \log x

\Leftrightarrow x = \left( \dfrac{1}{2} \right)^m

Jadi, invers dari y adalah \left( \dfrac{1}{2} \right)^x

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s