Barisan dan Deret Aritmatika


Definisi 1.

Suatu barisan u1, u2, … ,un, merupakan suku-suku barisan aritmatika, jika untuk sebarang n berlaku hubungan un – un-1 = b dengan dengan b adalah suatu tetapan yang tidak bergantung pada n atau b juga sering disebut sebagai beda.

Contoh 2.

Barisan 1, 2, 3, 4, 5, … dengan beda 1

Barisan 1, 3, 5, 7, 9, … dengan beda 2

Barisan 10, 5, 0, -5, -10, … dengan beda -5

Dari definisi diatas dapat merumuskan Rumus Umum Barisan Aritmatika sebagai berikut : un = a + (n – 1)b

Contoh 3.

Jika dipunyai suatu barisan aritmatika 20, 24, 28, 32, … Tentukan suku ke-50 dari barisan tersebut.

Dari barisan di atas, diperoleh bedanya b=4 dan suku awal a=20. Dengan menggunkan rumus suku ke-n yaitu u_n = a+(n-1)b, diperoleh

u_{50} = 20+(50-1)4 = 20+(49)4 = 20+196 = 216.

Jadi, suku ke-50 dari barisan tersebut adalah 216.

Selanjutnya suku tengah barisan Aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini. Misalkan barisan aritmatika yang terdiri atas (2k – 1) suku : u1, u2, … ,u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk. Suku tengah uk kita peroleh dari perhitungan sebagai berikut:

uk = a + (k – 1)b

   = \dfrac{1}{2} [2a + 2(k – 1)]b

   = \dfrac{1}{2} [a + a + (2k – 2)]b

   = \dfrac{1}{2} [a + [a + ((2k – 1)] – 1)]b

   = \dfrac{1}{2} (u1 + u2k-1)

Jadi suku tengahnya ditentukan oleh hubungan

uk = \dfrac{1}{2} (u1 + u2k-1)

Hubungan di atas menunjukkan bahwa suku tengah diproleh dari hasil kali setengah dari jumlah suku pertama dan suku terakhir.

Sifat-Sifat S0 pada deret aritmatika

  1. Sn = \dfrac{n}{2} (a + un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n adalah bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
  2. Untuk setiap n  \in \mathbb{N} berlaku hubungan Sn – Sn-1 = un (suku ke-n)

Rumus Jumlah n suku pertama Deret Aritmatika :

Sn\dfrac{n}{2} (a + un)

Bukti.

Misal :

Sn = u1 + u2 + … + un

Ambil :

u1 = a, u2 = a + b, u3 = a + 2b, … ,un-2 = un – 2b, un-1 = un – b

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (un – 2b) + (un – b) + un

Jika urutan suku-suku penjumlahan dibalik, diperoleh :

Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + .. + (a + 2b) + (a + b) + a

Kedua persamaan dijumlahkan,maka:

2Sn = (a + un) + (a + un) + (a + un) + … + (a + un) + (a + un)

\Leftrightarrow 2Sn = n(a + un)

\Leftrightarrow Sn = \dfrac {n}{2} (a + un)

Contoh 4.

Suatu barisan aritmatika mempunyai suku awal 15 dengan beda setiap sukunya adalah 6. Tentukan jumlah 12 suku pertama dari barisan tersebut.

S_{12} = \dfrac{12}{2}(2(15)+(12-1)6)

     = 6(30+66)

     = 6(96) = 576

Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan tersebut adalah 576.

Contoh 5.

Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 114. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 36 … (i)

u_5 + u_7 = (a+4b) + (a+6b) = 2a+10b = 114 … (ii)

Substitusi pers (i) ke (ii), diperoleh

2(36-2b) + 10b = 114

72-4b + 10b = 114

6b = 42 \Rightarrow b=7

Substitusi nilai b=7 ke u_3, diperoleh

a+2(7) = 36 \Rightarrow a=12

S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{10}= \dfrac{10}{2}(2(12)+(10-1)7)

     = 5(24+63)

     = 5(87)

     = 435

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s