Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (1)


  1. Diketahui y = |x| – 3, untuk semua x \in R . Jika x = -2, berapakah y?

    PEMBAHASAN :

    y = |x| – 3

    = |-2| – 3

    = 2 – 3

    = -1

  2. Jika diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(f(x)) = x2 + 3x + 1, berapakah g(3) ?

    PEMBAHASAN :

    y = 2x + 1

    y – 1 = 2x

    \frac{y-1}{2} = x

    (f-1)(x) = \frac{x-1}{2}

    g(x) = (g o f o f-1)(x)

    = (g o f)(f-1(x))

    = (\frac{x-1}{2})^2 + 3(\frac{x-1}{2}) + 1

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + \frac{3x-3}{2} + 1

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + 2(\frac{3x-3}{2.2}) + \frac{4}{4}

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + \frac{6x-6}{4} + \frac{4}{4}

    = \frac{x^2+4x-1}{4}

    g(3) = \frac{3^2+4(3)-1}{4}

    = \frac{9+12-1}{4}

    = 5

  3. Berapakah bilangan real x terkecil yang memenuhi sekaligus x2 \geq 4 dan |x – 1| \leq 2 ?

    PEMBAHASAN :

    x2 \geq 4

    x2 – 4 \geq 0

    (x – 4)(x + 4) \geq 0

    x = 4 atau x = -4

    berdasarkan garis bilangan, maka HP1 adalah -4 \leq x \leq 4

    |x – 1| \leq 2

    -2 \leq x – 1 \leq 2

    -2 + 1 \leq x \leq 2 + 1

    HP2 : -1 \leq x \leq 3

    Berdasarkan HP1 dan HP2, maka Himpunan Penyelesaian x yang memenuhi untuk kedua persamaan adalah -1 \leq x \leq 3. Jadi x terkecil yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah -1

  4. Jika diketahui a + b = 1 dan a2 + b2 = 2, berapakah a4 + b4 ?

    PEMBAHASAN :

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

    2 = (1)2 – 2ab

    -1 = 2ab

    -1/2 = ab

    (a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4

    ((a + b)2)2 = a4 + 4ab(b2 + a2) + 6(ab)2 + b4

    ((1)2)2 = a4 + 4(-1/2)(2) + 6(-1/2)2 + b4

    1 = a4 + -1 + -3/2 + b4

    7/4 = a4 + b4

  5. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{4}{7} . Berapakah m2 + n2 ?

    PEMBAHASAN :

    \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{4}{7}

    \frac{n+m}{m.n} = \frac{4}{7}

    m + n = 4 dan m.n = 7

    (m + n)2 = m2 + 2mn + n2

    (4)2 = m2 + 2(7) + n2

    16 – 14 = m2 + n2

    2 = m2 + n2

  6. Misalkan f(x) = x2 + 3x + 2 dan S adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, 25}. Berapakah banyaknya unsur a dari S sehingga f(a) bersisa 0 ketika dibagi 6?

    PEMBAHASAN :

    f(x) = x2 + 3x + 2

    f(0) = (0)2 + 3(0) + 2 = 0 (habis dibagi 6)

    f(1) = (1)2 + 3(1) + 2 = 6 (habis dibagi 6)

    f(x) = (2)2 + 3(2) + 2 = 12 (habis dibagi 6)

    f(3) = (3)2 + 3(3) + 2 = 20 (tidak habis dibagi 6)

    f(4) = (4)2 + 3(4) + 2 = 30 (habis dibagi 6)

    f(5) = (5)2 + 3(5) + 2 = 42 (habis dibagi 6)

    f(6) = (6)2 + 3(6) + 2 = 56 (tidak habis dibagi 6)

    .

    .

    .

    Dari ilustrasi diatas, jadi yang hasil fungsi yang tidak habis dibagi 6 adalah untuk “a” yang bernilai kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.

    Jadi unsure a dari S sehingga f(a) bersisa 0 ketika dibagi 6 adalah 26 unsur – 8 unsur = 18 unsur.

  7. Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB, BC, dan CA berturut-turut adlah 5cm, 6cm, dan 4cm. Berapakah sin2(\angleABC)?

    PEMBAHASAN :

    AC2 = AB2 + BC2 + 2(AB)(BC)cos\angleABC

    42 = 52 + 62 + 2(5)(6)cos\angleABC

    16 = 25 + 36 + 2(5)(6)cos\angleABC

    -45 = 2(5)(6)cos\angleABC

    -3/4 = cos\angleABC

    cos\angleABC = \frac{samping}{miring}

    depan = \sqrt{miring^2-samping^2}

    = \sqrt{4^2-(-3)^2}

    = \sqrt{7}

    sin\angleABC = \frac{depan}{miring}

    = \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin2\angleABC = 7/16

  8. Jumlah semua digit dari 4^{2012} x 125^{1342} adalah …

    PEMBAHASAN :

    4^{2012} x 125^{1342} = 2^{2(2012)}.5^{3(1342)}

    = 2^{4024}.5^{4026}

    = 2^{4024}.5^{4024+2}

    = 2^{4024}.5^{4024}.5^{2}

    = (2.5)^{4024}.5^{2}

    = 25.10^{4024}

    = 2,5.10^{4025}

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

7 comments on “Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (1)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s