Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (1)


  1. Diketahui y = |x| – 3, untuk semua x \in R . Jika x = -2, berapakah y?

    PEMBAHASAN :

    y = |x| – 3

    = |-2| – 3

    = 2 – 3

    = -1

  2. Jika diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(f(x)) = x2 + 3x + 1, berapakah g(3) ?

    PEMBAHASAN :

    y = 2x + 1

    y – 1 = 2x

    \frac{y-1}{2} = x

    (f-1)(x) = \frac{x-1}{2}

    g(x) = (g o f o f-1)(x)

    = (g o f)(f-1(x))

    = (\frac{x-1}{2})^2 + 3(\frac{x-1}{2}) + 1

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + \frac{3x-3}{2} + 1

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + 2(\frac{3x-3}{2.2}) + \frac{4}{4}

    = \frac{x^2-2x+1}{4} + \frac{6x-6}{4} + \frac{4}{4}

    = \frac{x^2+4x-1}{4}

    g(3) = \frac{3^2+4(3)-1}{4}

    = \frac{9+12-1}{4}

    = 5

  3. Berapakah bilangan real x terkecil yang memenuhi sekaligus x2 \geq 4 dan |x – 1| \leq 2 ?

    PEMBAHASAN :

    x2 \geq 4

    x2 – 4 \geq 0

    (x – 4)(x + 4) \geq 0

    x = 4 atau x = -4

    berdasarkan garis bilangan, maka HP1 adalah -4 \leq x \leq 4

    |x – 1| \leq 2

    -2 \leq x – 1 \leq 2

    -2 + 1 \leq x \leq 2 + 1

    HP2 : -1 \leq x \leq 3

    Berdasarkan HP1 dan HP2, maka Himpunan Penyelesaian x yang memenuhi untuk kedua persamaan adalah -1 \leq x \leq 3. Jadi x terkecil yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah -1

  4. Jika diketahui a + b = 1 dan a2 + b2 = 2, berapakah a4 + b4 ?

    PEMBAHASAN :

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

    2 = (1)2 – 2ab

    -1 = 2ab

    -1/2 = ab

    (a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4

    ((a + b)2)2 = a4 + 4ab(b2 + a2) + 6(ab)2 + b4

    ((1)2)2 = a4 + 4(-1/2)(2) + 6(-1/2)2 + b4

    1 = a4 + -1 + -3/2 + b4

    7/4 = a4 + b4

  5. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{4}{7} . Berapakah m2 + n2 ?

    PEMBAHASAN :

    \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{4}{7}

    \frac{n+m}{m.n} = \frac{4}{7}

    m + n = 4 dan m.n = 7

    (m + n)2 = m2 + 2mn + n2

    (4)2 = m2 + 2(7) + n2

    16 – 14 = m2 + n2

    2 = m2 + n2

  6. Misalkan f(x) = x2 + 3x + 2 dan S adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, 25}. Berapakah banyaknya unsur a dari S sehingga f(a) bersisa 0 ketika dibagi 6?

    PEMBAHASAN :

    f(x) = x2 + 3x + 2

    f(0) = (0)2 + 3(0) + 2 = 0 (habis dibagi 6)

    f(1) = (1)2 + 3(1) + 2 = 6 (habis dibagi 6)

    f(x) = (2)2 + 3(2) + 2 = 12 (habis dibagi 6)

    f(3) = (3)2 + 3(3) + 2 = 20 (tidak habis dibagi 6)

    f(4) = (4)2 + 3(4) + 2 = 30 (habis dibagi 6)

    f(5) = (5)2 + 3(5) + 2 = 42 (habis dibagi 6)

    f(6) = (6)2 + 3(6) + 2 = 56 (tidak habis dibagi 6)

    .

    .

    .

    Dari ilustrasi diatas, jadi yang hasil fungsi yang tidak habis dibagi 6 adalah untuk “a” yang bernilai kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.

    Jadi unsure a dari S sehingga f(a) bersisa 0 ketika dibagi 6 adalah 26 unsur – 8 unsur = 18 unsur.

  7. Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi AB, BC, dan CA berturut-turut adlah 5cm, 6cm, dan 4cm. Berapakah sin2(\angleABC)?

    PEMBAHASAN :

    AC2 = AB2 + BC2 + 2(AB)(BC)cos\angleABC

    42 = 52 + 62 + 2(5)(6)cos\angleABC

    16 = 25 + 36 + 2(5)(6)cos\angleABC

    -45 = 2(5)(6)cos\angleABC

    -3/4 = cos\angleABC

    cos\angleABC = \frac{samping}{miring}

    depan = \sqrt{miring^2-samping^2}

    = \sqrt{4^2-(-3)^2}

    = \sqrt{7}

    sin\angleABC = \frac{depan}{miring}

    = \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin2\angleABC = 7/16

  8. Jumlah semua digit dari 4^{2012} x 125^{1342} adalah …

    PEMBAHASAN :

    4^{2012} x 125^{1342} = 2^{2(2012)}.5^{3(1342)}

    = 2^{4024}.5^{4026}

    = 2^{4024}.5^{4024+2}

    = 2^{4024}.5^{4024}.5^{2}

    = (2.5)^{4024}.5^{2}

    = 25.10^{4024}

    = 2,5.10^{4025}

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Iklan

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (1)

  1. nomor 5 salah sob,, itukan 4/7 masih perbandingan.. jadi belom tentu nilai m+n =4, m.n =7.,,,
    bisa saja m+n = 8, m.n =14 dan sebagainya.,.,
    sedangkan disitu juga diketahui m,n bialangan bulat positif,., apakah ada bil. bulat positif sdh dijumlahkan hasilnya 4, dikalikan hasilnya 7. adakah?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s