Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (2)


  1. \sqrt{5050^2-4950^2} = …

    PEMBAHASAN :

    \sqrt{5050^2-4950^2} = \sqrt{(5050+4950)(5050-4950)}

    = \sqrt{(10000)(100)}

    = 100 x 10

    = 1000

  2. Jika a = a \sqrt{\frac{b}{1-b}} , maka b dinyatakan dalam a adalah …

    PEMBAHASAN :

    a = \sqrt{\frac{b}{1-b}}

    a2 = \frac{b}{1-b}

    a2(1 – b) = b

    a2 – a2b = b

    a2 = b + a2b

    a2 = b(1 + a2)

      \frac{a^2}{1+a^2} = b

  3. Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan?

    PEMBAHASAN :

    misal bilangan primanya adalah a, b dan c

    perkalian ketiga bilangan tersebut adalah abc, maka factor berbeda yang mungkin terjadi adalah 1, a, b, c, ab, ac, bc, dan abc. Jadi banyak factor yang berbeda dari perkalian ketiga bilangan prima tersebut adalah 8.

  4. Pecahan \frac{s}{t} adalah pecahan sejati, jika s < t, dan faktor persekutuan terbesarnya adalah 1. Jika t memiliki nilai mulai dari 2 sampai dengan 9, dan s bilangan postif, maka banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat adalah …

    PEMBAHASAN :

    misal t = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 maka s yang mungkin adalah s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

    untuk s = 1, maka
    t = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 8 buah pecahan sejati).

    untuk s = 2, maka
    t = 3, 5, 7, 9 (ada 4 buah pecahan sejati)

    untuk s = 3, maka
    t = 4, 5,7, 8 (ada 4 buah pecahan sejati)

    untuk s = 4, maka
    t = 5, 7, 9 (ada 3 buah pecahan sejati)

    untuk s = 5, maka
    t = 6, 7, 8, 9 (ada 4 buah pecahan sejati)

    untuk s = 6, maka
    t = 7 (ada 1 buah pecahan sejati)

    untuk s = 7, maka
    t = 8, 9 (ada 2 buah pecahan sejati)

    untuk s = 8, maka
    t = 9 (ada 1 buah pecahan sejati)

    Jadi, banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat = 8 + 4 + 4 + 3 + 4 + 1 + 2 + 1 = 27.

  5. 3% dari 81 sama dengan 9% dari …

    PEMBAHASAN :

    3% x 81 = 9% x a

    (3% x 81)/9% = a

    27% = a

    Jadi, 3% dari 81 sama dengan 9% dari 27

  6. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?

    PEMBAHASAN :

    misal bilangan bulat yang dimaksud adalah a – 50, a – 49, …a – 1, a, a + 1, …, a + 49, a + 50.

    a – 50 + a – 49 + …+ a – 1 + a + a + 1 + … + a + 49 + a + 50 = 101

    101a = 101

    a = 1

    Jadi bilangan bulat terbesar adalah a + 50 = 1 + 50 = 1

  7. Berapakah sisa pembagian x99 + 1 oleh x – 1 ?

    PEMBAHASAN :

    Substitusi “x = 1” ke persamaan x99 + 1 sehingga diperoleh (1)99 + 1 = 2. Jadi sisa pembagiannya adalah 2.

  8. Buktikan bahwa 49n – 36n habis dibagi 13 !

    PEMBAHASAN :

    Pembuktian menggunakan Induksi Matematika :

    BASIS :

    untuk n = 1

    491 – 361 = 13

    Benar dapat dibagi 13

    HIPOTESIS :

    untuk n = k

    49k – 36k benar dapat dibagi oleh 13

    INDUKSI :

    untuk n = k + 1

    49k + 1 – 36k + 1 = 49.49k – 36.36k

    = (36 + 13)49k – 36.36k

    = 36.49k + 13.49k – 36.36k

    = 36(49k – 36k) + 13.49k

    Karena 49k – 36k benar dapat dibagi 13 maka 36(49k – 36k) juga benar dapat dibagi 13. Kemudian untuk 13.49k juga benar dapat dibagi 13. Jadi 36(49k – 36k) + 13.49k dapat dibagi 13.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s