Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (5)


  1. Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto UNDIP. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP.

    PEMBAHASAN :

    misal : x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa.

    \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{7}

    7(x – 1) = y – 1

    7x – 7 = y – 1

    7x – y = 6 … (i)

    \frac{x}{y-2} = \frac{1}{5}

    5x = y – 2

    5x – y = -2 … (ii)

    7x – y = 6

    5x – y = -2

    2x = 8

    x = 4

    substitusi nilai “x = 4” ke (i) sehingga diperoleh y = 22.

    x + SMA = y

    4 + SMA = 22

    SMA = 18

    Jadi perbandingan SMP : SMA = 4 : 18 = 2 : 9

  2. Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika \frac{7}{30} = \frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}} maka 7a + b – c = …

    PEMBAHASAN :

    \frac{7}{30} = \frac{1}{a+\frac{1}{\frac{bc+1}{c}}}

    = \frac{1}{a+\frac{c}{bc+1}}

    = \frac{1}{\frac{a(bc+1)+c}{bc+1}}

    = \frac{bc+1}{abc+a+c}

    30(bc + 1) = 7(abc + a + c).

    Hal ini berarti 30(bc + 1) habis dibagi oleh 7. Kemungkinannya 30 habis dibagi 7 atau (bc + 1) habis dibagi 7. Tapi 30 tidak mungkin habis dibagi 7 maka kemungkinannya (bc + 1) yang habis dibagi 7. Berakibat bc = 6.

    Ada dua kemungkinan yang dihasilkan untuk nilai b dan c, yaitu :

    1. b = 2 dan c = 3

    Hal ini berakibat

    30(bc + 1) = 7(abc + a + c)

    30 (6 + 1)= 7(6a + a + 3)

    30 = 7a + 3

    27 = 7a

    a = 27/7 (tidak mungkin)

    2. b = 3 dan c = 2

    Hal ini berakibat

    30(bc + 1) = 7(abc + a + c)

    30 (6 + 1) = 7(6a + a + 2)

    30 = 7a + 2

    28 = 7a

    a = 4

    Jadi 7a + b – c = 7(4) + 3 – 2 = 29

  3. Jika x adalah bilangan bulat positif dan

    2a + x = b

    x + b = a

    a + b = c

    nilai terbesar yang mungkin dari a + b + c = ?

    PEMBAHASAN :

    2a + x = b … (i)

    x + b = a … (ii)

    a + b = c … (iii)

    eliminasi persamaan (i) dan (ii) :

    2a + x = b

    -a + x = -b +

    a + 2x = 0

    a = -2x

    substitusi nilai “a = -2x” ke persamaan (i) sehingga diperoleh :

    2a + x = b

    2(-2x) + x = b

    -3x = b

    Kemudian substitusi nilai “a = -2x” dan “b = -3x” ke persamaan (iii) sehingga diperoleh :

    a + b = c

    (-2x) + (-3x) = c

    -5x = c

    a + b + c = (-2x) + (-3x) + (-5x)

    = -10x

    Karena x merupakan bilangan bulat positif, maka bilangan terbesar untuk a + b + c adalah -10

  4. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh 600 siswa disusun dalam x baris. Tiap barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Tentukan banyaknya baris sebelum diubah?

    PEMBAHASAN :

    baris . siswa = x.y = 600

    (x + 5)(y – 6) = 600

    xy + 5y – 6x – 30 = 600

    600 + 5(600/x) – 6x – 30 = 600 (kalikan x kedua ruas)

    3000 – 6x2 – 30x = 0

    6(500 – x2 – 5x) = 0

    6(x2 + 5x – 500) = 0

    6(x + 25)(x – 20) = 0

    x = -25 (tidak memenuhi) atau x = 20

    Jadi banyaknya baris adalah 20.

  5. Jika \frac{2ab}{a+b} = 1, \frac{ac}{a+c} = \frac{1}{7} dan \frac{bc}{b+c} = 2, maka \frac{1}{a} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = …

    PEMBAHASAN :

    \frac{2ab}{a+b} = 1

    \frac{ab}{a+b} = \frac{1}{2}

    \frac{a+b}{ab} = 2

    \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2

    \frac{ac}{a+c} = \frac{1}{7}

    \frac{a+c}{ac} = 7

    \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = 7

    \frac{bc}{b+c} = 2

    \frac{b+c}{bc} = \frac{1}{2}

    \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

    \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2 + 7 + 1/2

    2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 19/2

    \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 19/4

  6. Jika a : b = 2 : 5 maka nilai \frac{a}{a-b} \frac{a^2}{a^2-b^2} = …

    PEMBAHASAN :

    \frac{b}{a} = \frac{5}{2}

    \frac{a}{a-b} \frac{a^2}{a^2-b^2} = \frac{1}{1-\frac{b}{a}} \frac{1}{1-\frac{b^2}{a^2}}

    = \frac{1}{1-\frac{b}{a}} \frac{1}{1-(\frac{b}{a})^2}

    = \frac{1}{1-\frac{5}{2}} \frac{1}{1-(\frac{5}{2})^2}

    = \frac{1}{-\frac{3}{2}} \frac{1}{1-\frac{25}{4}}

    = \frac{1}{-\frac{3}{2}} \frac{1}{-\frac{21}{4}}

    = -\frac{2}{3} -\frac{4}{21}

    = -\frac{14}{21} + \frac{4}{21}

    = -\frac{10}{21}

  7. Jika \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = i – j + 4k dan |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{14} maka \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = …

    PEMBAHASAN :

    |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}

    = \sqrt{1+1+16}

    = \sqrt{18}

    (|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|)2 = (\sqrt{18})^2

    \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2 = 18 … (i)

    (|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|)2 = (\sqrt{14})^2

    \overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2 = 14 … (ii)

    Persamaan (i) dan (ii) dieliminasi, sehingga diperoleh :

    4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = 4

    \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = 1

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s