Pembahasan Latihan Soal Olimpiade Matematika (5)

1. Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto UNDIP. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP.
   

   PEMBAHASAN :
   

   misal : x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa.
   

   =
   

   7(x – 1) = y – 1
   

   7x – 7 = y – 1
   

   7x – y = 6 … (i)
   

   =
   

   5x = y – 2
   

   5x – y = -2 … (ii)
   

   7x – y = 6
   

   5x – y = -2 –
   

   2x = 8
   

   x = 4
   

   substitusi nilai “x = 4” ke (i) sehingga diperoleh y = 22.
   

   x + SMA = y
   

   4 + SMA = 22
   

   SMA = 18
   

   Jadi perbandingan SMP : SMA = 4 : 18 = 2 : 9
   

2. Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika = maka 7a + b – c = …
   

   PEMBAHASAN :
   

   =
   

   =
   

   =
   

   =
   

   30(bc + 1) = 7(abc + a + c).
   

   Hal ini berarti 30(bc + 1) habis dibagi oleh 7. Kemungkinannya 30 habis dibagi 7 atau (bc + 1) habis dibagi 7. Tapi 30 tidak mungkin habis dibagi 7 maka kemungkinannya (bc + 1) yang habis dibagi 7. Berakibat bc = 6.
   

   Ada dua kemungkinan yang dihasilkan untuk nilai b dan c, yaitu :
   

   1. b = 2 dan c = 3
   

   Hal ini berakibat
   

   30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
   

   30 (6 + 1)= 7(6a + a + 3)
   

   30 = 7a + 3
   

   27 = 7a
   

   a = 27/7 (tidak mungkin)
   

   2. b = 3 dan c = 2
   

   Hal ini berakibat
   

   30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
   

   30 (6 + 1) = 7(6a + a + 2)
   

   30 = 7a + 2
   

   28 = 7a
   

   a = 4
   

   Jadi 7a + b – c = 7(4) + 3 – 2 = 29
   

3. Jika x adalah bilangan bulat positif dan
   

   2a + x = b
   

   x + b = a
   

   a + b = c
   

   nilai terbesar yang mungkin dari a + b + c = ?
   

   PEMBAHASAN :
   

   2a + x = b … (i)
   

   x + b = a … (ii)
   

   a + b = c … (iii)
   

   eliminasi persamaan (i) dan (ii) :
   

   2a + x = b
   

   -a + x = -b +
   

   a + 2x = 0
   

   a = -2x
   

   substitusi nilai “a = -2x” ke persamaan (i) sehingga diperoleh :
   

   2a + x = b
   

   2(-2x) + x = b
   

   -3x = b
   

   Kemudian substitusi nilai “a = -2x” dan “b = -3x” ke persamaan (iii) sehingga diperoleh :
   

   a + b = c
   

   (-2x) + (-3x) = c
   

   -5x = c
   

   a + b + c = (-2x) + (-3x) + (-5x)
   

   = -10x
   

   Karena x merupakan bilangan bulat positif, maka bilangan terbesar untuk a + b + c adalah -10
   

4. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh 600 siswa disusun dalam x baris. Tiap barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Tentukan banyaknya baris sebelum diubah?
   

   PEMBAHASAN :
   

   baris . siswa = x.y = 600
   

   (x + 5)(y – 6) = 600
   

   xy + 5y – 6x – 30 = 600
   

   600 + 5(600/x) – 6x – 30 = 600 (kalikan x kedua ruas)
   

   3000 – 6x² – 30x = 0
   

   6(500 – x² – 5x) = 0
   

   6(x² + 5x – 500) = 0
   

   6(x + 25)(x – 20) = 0
   

   x = -25 (tidak memenuhi) atau x = 20
   

   Jadi banyaknya baris adalah 20.
   

5. Jika = 1, = dan = 2, maka + + = …
   

   PEMBAHASAN :
   

   = 1
   

   =
   

   = 2
   

   + = 2
   

   =
   

   = 7
   

   + = 7
   

   = 2
   

   =
   

   + =
   

   + + + + + = 2 + 7 + 1/2
   

   2 + + = 19/2
   

   + + = 19/4
   

6. Jika a : b = 2 : 5 maka nilai – = …
   

   PEMBAHASAN :
   

   =
   

   – = –
   

   = –
   

   = –
   

   = –
   

   = –
   

   = –
   

   = +
   

   =
   

7. Jika = i – j + 4k dan || = maka = …
   

   PEMBAHASAN :
   

   || =
   

   =
   

   =
   

   (||)² =
   

   = 18 … (i)
   

   (||)² =
   

   = 14 … (ii)
   

   Persamaan (i) dan (ii) dieliminasi, sehingga diperoleh :
   

   4 = 4
   

   = 1
   

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.