Induksi Matematika berawal pada akhir abad ke-19 yang dipelopori oleh dua orang matematikawan yaitu R. Dedekind dan G.Peano. Dedikind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano. Postulat ini ditemukan sekitar tahun 1890 sebagai rumusan formula konsep bilangan asli.
Postulat Peano
-
1 adalah anggota
-
Setiap anggota
mempunyai pengikut
-
Dua bilangan di
yang berbeda mempunyai pengikut yang berbeda.
-
1 bukan pengikut bilangan
yang manapun
-
Jika subhimpunan
memuat 1 dan pengikut dari setiap bilangan di
, maka
Induksi Matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika dan merupakan salah satu metoda/alat yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika, khususnya pernyataan-pernytaan yang berkaitan dengan bilangan asli atau bilangan bulat positif. Melalui Induksi Matematika ini kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan adalah proporsi prihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa
benar untuk semua bilangan bulat positif
. Untuk membuktikan proporsi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
-
benar, dan
-
jika
benar, maka
juga benar untuk setiap
1
sehingga benar, maka semua bilangan bulat positif
Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, yang digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil. Sedangkan Langkah 2 dinamakan Langkah Induksi, yang berisi asumsi yang menyatakan bahwa benar. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa $latex p(n)$ benar untuk semua bilangan bulat positif
. Kemudian kita harus menunjukkan bahwa implikasi
benar untuk setiap bilangan bulat positif. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis
benar maka
juga harus benar. Langkah pembuktian
bernilai benar dinamakan Hipotesis Induksi.
Contoh 1.
Buktikan bahwa untuk setiap berlaku
Basis Induksi
benar
Langkah Induksi
benar
Hipotesis Induksi
akan dibuktikan benar untuk
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) =
=
=
=
=
=
=
Jadi benar untuk setiap
Contoh 2.
Buktikan bahwa untuk setiap dan
berlaku
Basis Induksi
benar
Langkah Induksi
benar
Hipotesis Induksi
akan dibuktikan benar untuk
1 + 3 + … + k(k + 1)/2 + (k + 1)(k + 2)/2 =
=
=
=
=
Jadi benar 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = ,
Contoh 3.
Buktikan bahwa untuk setiap dan
berlaku
Basis Induksi
benar
Langkah Induksi
benar
Hipotesis Induksi
akan dibuktikan benar untuk
Jadi benar ,
Sumber :
Arifin, A, 2000, Aljabar, ITB Bandung Press, Bandung.
Munir, R., 2009, Matematika Diskrit, Informatika, Bandung.
kak maaf sebelumnya, terima kasih atas bantuannya sebelumnya…
terima kasih kak, jawabannya sangat membantu…
kak mohon bantuannya, tentang akar bilangan kompleks
Hitunglah : (-2+ 2i)^1/5
kak mohon dikoreksi,..
Z = (-2+2i)^1/5
Z^5 = (-2+ 2i)
W = (-2+ 2i)
r = akar(-2^2)+(2^2) =akar 8
tan teta = y/x =2/-2 = -1
teta = 135 derajat = 3 pi/4
p^n = r
p^5 = akar 8
p = ….*
tsi = (teta + 2. k. pi)/ n
tsi = (3 .pi/4 + 2.k.pi)/ 5
k = 0, 1, 2, 3, 4
p^n(cos n tsi + i sin n tsi) = r (cos teta + i sin teta)
p^5(cos 5 tsi + i sin 5 tsi) = akar 8 (cos 135 + i sin 135 )
Z = r^1/n [cos ( (teta + 2.k. pi)/n) + i sin ( (teta +2.k.pi)/n)]
k= 0 ===> Z = … *[cos ( 3.pi/4 +2.0. 3.pi/4) / 5 + i sin ( 3.pi/4 + 2.0. 3.pi/4) ]
= …
kak mohon bantuannya…
kak mohon bantuannya, bagaimana cara membuktikannya:
7 adalah irrasional.
coba baca di blog tmen : http://ariaturns.com/2016/04/03/pembuktian-log-5-irasional/
mgkn bisa lyt idenya ditulisan itu
makasih kak atas bantuannya…
Ping-balik: Pembuktian Langsung | Math IS Beautiful
bisa dibantu kak “tentukan semua nilai n shg berlaku 2^n > n^3, buktikan dimana n elemen bilangan asli”
Makasih kak sangat membantu