Sifat Aljabar pada Bilangan Riil (Real)

Sifat Aljabar pada himpunan dari bilangan real terdapat operasi biner yang dinotasikan dengan + dan yang dikenal dengan penjumlahan dan perkalian. Berikut beberapa operasi yang memenuhi sifat tersebut.

Sifat Aljabar

(A1) a + b = b + a a, b di (komutatif pada penjumlahan)

(A2) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c di (asosiatif pada penjumlahan)

(A3) 0 di sedemikian sehingga 0 + a = a + 0 a di (eksistensi 0/identitas penjumlahan)

(A4) a di -a di sedemikian sehingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (eksistensi bilangan negatif)

(M1) a.b = b.a a, b di (komutatif pada perkalian)

(M2) (a.b).c = a.(b.c) a, b di (asosiatif pada perkalian)

(M3) 1 di yang berbeda dengan 0 sedimikian sehingga 1.a = a.1 = a a di (eksistensi satuan/identitas perkalian)

(M4) a 0 di 1/a di sedemikian sehingga a.(1/a) = 1 dan (1/a).a = 1 (eksistensi balikan/invers)

(D) a.(b + c) = (a.b) + (a.c) dan (b + c).a = (b.a) + (c.a) a, b, c di (distributif)

Tentu Sifat Aljabar diatas sudah tidak asing lagi bagi kita. Empat sifat pertama yaitu (A1), (A2), (A3) dan (A4) adalah sifat pada penjumlahan dan empat sifat berikutnya yaitu (M1), (M2), (M3) dan (M4) adalah sifat pada perkalian. Dan sifat terakhir adalah sifat kembangan dari sifat penjumlahan dan sifat perkalian yang lebih dikenal dengan Sifat Distributif. Dari sifat diatas, dapat dikembangkan menjadi teorema yang akan ditunjukkan bahwa perkalian dengan 0 pasti menghasilkan 0. Berikut teoremanya.

Teorema 1.

(a) Jika z dan a adalah elemen di dengan z + a = a, maka z = 0

(b) Jika u dan b 0 adalah elemen di dengan u.b = b maka u = 1

(c) Jika a maka a.0 = 0

Bukti.

(a) z = z + 0 (A3)

= z + (a + (-a)) (A4)

= (z + a) + (-a) (A2)

= a + (-a) (A4)

= 0

Jadi z = 0

(b) u = u.1 (M3)

= u(b.(1/b)) (M4)

= (u.b)(1/b) (M2)

= b.(1/b) (M4)

= 1

Jadi u = 1

(c) a = a.1 (M3)

= a.(1 + 0) (A3)

= a.1 + a.0 (D)

tambah kedua ruas dengan (-a)

a + (-a) = (a + a.0) + (-a)

0 = (a + (-a)) + a.0 (A4 dan A1)

0 = 0 + a.0 (A4)

0 = a.0

Selain teorema diatas, ada juga teorema yang akan menjamin ketunggalan balikan dan jika perkalian dua bilangan sama dengan nol maka satu dari bilangan tersebut adalah nol.

Teorema 2.

(a) Jika a 0 dan b di sedemikian sehingga a.b = 1 maka b = 1/a

(b) Jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0

Bukti.

(a) b = 1.b (M3)

= ((1/a).a).b (M4)

= (1/a).(a.b) (M2)

= 1/a

Jadi b = 1/a

(b) asumsikan a 0, kita akan buktikan b = 0

a.b = 0

kalikan 1/a kedua ruas

(1/a).(a.b) = (1/a).0

((1/a).a).b = 0 (M2 dan Teorema 1 (c))

1.b = 0 (M4)

b = 0

Sumber :

Bartle, R.G. and Sherbert, D.R., 1994, Introduction To Real Analisys, John Wiley & Sons, USA.