Asal Mula Bilangan Irrasional


Photobucket

Bilangan Rasional adalah subset dari Bilangan Riil yang didefinisikan sebagai bentuk \frac{b}{a} dengan a, b \epsilon \quad \mathbb{Z} dan b \neq 0. Himpunan semua Bilangan Rasional akan dinotasikan dengan \mathbb{Q}.

Dalam Bilangan Riil, terdapat bilangan yang bukan merupakan Bilangan Rasional. Bilangan ini awalnya ditemukan pada abad keenam Sebelum Masehi, masyarakat Yunani kuno yang merupakan perkumpulan “Phytagoreans” menemukan bahwa diagonal dari hasil kuadrat sisi siku-siku segitiga tidak dapat diekspresikan sebagai perbandingan bilangan bulat. Berdasarkan Teorema Phytagoras, hal ini berakibat kuadrat dari yang bukan Bilangan Rasional sama dengan 2. Penemuan ini berdampak besar bagi perkembangan ilmu matematika. Oleh karena itu, konsekuensi elemen dari \mathbb{R} yang bukan \mathbb{Q} dinamakan Bilangan Irrasional. Untuk pembuktian \sqrt{2} merupakan Bilangan Irrasional, silahkan baca di blognya Adimath17.

Kasus yang menarik perhatian saya pada Bilangan Irrasional ini adalah jika x adalah Bilangan Rasional dan y adalah Bilangan Irrasional, maka x + y adalah Bilangan Irrasional.

Untuk membuktiannya saya akan menggunakan Pembuktian Kontradiksi.

misal x:= \dfrac{p}{q} dan andaikan x + y rasional \Leftrightarrow \dfrac{p}{q} + y \dfrac{r}{s}. Berakibat y=\dfrac{r}{s}-\dfrac{p}{q} = \dfrac{qr-ps}{rs}. Misal qr-ps = m dan rs = n maka y = \dfrac{m}{n} dengan n \neq 0. Artinya y adalah Bilangan Rasioanl. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan, maka y haruslah Bilangan Irrasional.

9 comments on “Asal Mula Bilangan Irrasional

  1. Ping-balik: Problem (9) : Fungsi | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Pembuktian Akar 2 Secara Geometri | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Pembuktian Akar 2 Bilangan Irrasional Secara Geometri | Math IS Beautiful

  4. Dalam membuktikan teorema berbentuk p \Rightarrow q, kita mengasumsikan p benar dan menunjukkan bahwa p kontradiksi dengan \neg q.

    Berarti kita mengasumsikan x bilangan rasional dan y bilangan irasional. Lalu menunjukkan bahwa “x+y bilangan irasional” kontradiksi dengan asumsi tersebut.

    Kok berbeda dengan cara anda yaa?

    • maaf, saya ada salah redaksi.
      “mengasumsikan p benar dan menunjukkan bahwa p kontradiksi dengan -q”
      bukankah jika mengasumsikan p benar, maka kita harus membuktikan q benar ?

      dalam pembuktian ditulisan ini, saya mengasumsikan q salah dan menunjukkan p salah.

      • Oiya mas, pantas saya agak heran pas baca teorema sebelumnya, ternyata salah redaksi.:)

        Maksud saya gini mas.
        Kita mengasumsikan pernyataan p benar, berarti kita menerima bahwa x rasional dan y irrasional. Kita jg mmbenarkn \neg q, yang isinya x+y rasional.

        Melalui pengerjaan matematis diperoleh y rasional, padahal pada pernyataan p, y bilangan irrasional.
        Itu yang saya maksud: p yng diasumsikan benar, kontradiksi dgn \neg q.

        Maksud sy spertinya sejalan dg pendapat anda.:)

  5. Oiya mas, pantas saya agak heran pas baca teorema sebelumnya, ternyata salah redaksi.:)

    Maksud saya gini mas.
    Kita mengasumsikan pernyataan p benar, berarti kita menerima bahwa x rasional dan y irrasional. Kita jg mmbenarkn \neg q, yang isinya x+y rasional.

    Melalui pengerjaan matematis diperoleh y rasional, padahal pada pernyataan p, y bilangan irrasional.
    Itu yang saya maksud: p yng diasumsikan benar, kontradiksi dgn \neg q.

    Maksud sy spertinya sejalan dg pendapat anda.:)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s