Agu 22 2012

Pembuktian Formula Heron


Mungkin sudah banyak yang tahu apa itu Formula Heron, formula ini biasa digunakan untuk menghitung Luas Segitiga tanpa diketahui tingginya dan kemungkinan besar tidak bisa ditentukan tinggi segitiga secara “mudah”. Rumus ini juga bisa digunakan untuk mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga. Rumusnya sebagai berikut L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, dengan s = \dfrac{1}{2} (a + b + c) atau 2s = a + b + c

Dalam postingan ini saya akan membuktikan Formula Heron ini, Jadi disini kita akan membuktikan bahwa L \triangle = \dfrac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi } = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

L \triangle = \dfrac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi } = \dfrac{1}{2} a b \sin A (BUKTI) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Dalam pembuktian ini kita akan menggunakan Sifat – Sifat Dasar Trigonometri

Aturan Cosinus : \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

sin2 A = 1 – cos2 A

= (1-\cos A)(1 + \cos A)

= \left( 1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \left(1 + \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{2bc}{2bc}- \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \left( \dfrac{2bc}{2bc} + \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc} \right) \left( \dfrac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{-(b^2+c^2-2bc)+a^2}{2bc} \right) \left( \dfrac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{-(b-c)^2+a^2}{2bc} \right) \left( \dfrac{(b+c)^2-a^2}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{(a+(b-c))(a-(b-c))}{2bc} \right) \left( \dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc} \right)

= \left( \dfrac{(a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)}{(2bc)^2} \right)

= \dfrac{(a+b-c+2c-2c)(a-b+c+2b-2b)(b+c+a)(b+c-a+2a-2a)}{(2bc)^2}

= \dfrac{(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(b+c+a)(b+c+a-2a)}{(2bc)^2}

= \dfrac{(2s-2c)(2s-2b)(2s)(2s-2a)}{(2bc)^2}

= \dfrac{2(s-c)2(s-b)2(s)2(s-a)}{(2bc)^2}

= \dfrac{16(s-c)(s-b)(s)(s-a)}{(2bc)^2}

sin A = \dfrac{4}{2bc} \sqrt{(s-c)(s-b)(s)(s-a)}

= \dfrac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

L \triangle = \dfrac{1}{2} a b \sin A

= \dfrac{1}{2}ab \cdot \dfrac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \blacksquare

Iklan

6 comments on “Pembuktian Formula Heron”

  1. Ping-balik: Garis Tinggi pada Segitiga | Math IS Beautiful

  4. Ping-balik: Luas Segiempat Sembarang | Math IS Beautiful

  6. Ping-balik: Lingkaran Dalam Segitiga | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s