Agu 28 2012

Menentukan Suku ke-n pada Barisan Aritmatika Bertingkat


Sudah tahu apa itu Barisan Aritmatika? Pasti kalian sudah tahu, yaitu barisan yang memiliki beda tetap antara setiap suku ke – n + 1 dengan suku ke – n nya. Dengan barisan seperti itu, kita juga bisa dengan sederhana menghitung suku ke – n atau jumlah suku n pertama pada Barisan Aritmatika yang sudah saya bahas pada tulisan sebelumnya. Tapi rumus itu hanya berlaku untuk barisan aritmatika tingkat pertama. Yang jadi masalah sekarang, bagaimana menghitung suku ke – n dari barisan aritmatika tingkat kedua, ketiga atau yang lebih tinggi? Melalui tulisan ini saya mencoba untuk membahas masalah ini.

Barisan Aritmatika Tingkat Dua

  1. Persamaan umum untuk mencari suku ke–n pada Barisan aritmatika tingkat dua

    Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!}

    dengan m0 := suku awal pada barisan semula

    m1 := suku awal pada barisan tingkat pertama yang dibentuk

    m2 := suku awal pada barisan tingkat kedua yang dibentuk atau beda konstan yang diproleh

  2. Tentukan beda antar suku pada barisan sampai ketemu beda yang konstan atau tetap

    contoh :

    misal kita punya barisan aritmatika seperti ini :

    1 5 11 19 29 …

    Kemudian konstruksi barisan tersebut sedemikian sehingga sampai ketemu beda yang tetap (konstan) seperti dibawah ini

    Photobucket

    Perhatikan barisan diatas,

    suku awal baris pertama = 1 atau m0 = 1.

    suku awal baris kedua = 4 atau m1 = 4

    suku awal baris ketiga = 2 atau m2 = 2

  3. Substitusi nilai m0 = 1, m1 = 4 dan m2 = 2 ke persamaan umum pada langkah 1 dan kemudian disederhanakan

    Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!}

    = \frac{1}{1} + \frac{(n-1)4}{1} + \frac{(n-1)(n-2)2}{2}

    = 1 + 4n – 4 + n2 – 3n + 2

    = n2 + n – 1

Kemudian untuk barisan aritmatika tingkat tiga, memiliki cara yang sama dengan barisan aritmatika tingkat dua, hanya kita ganti persamaan umum nya saja. Berikut contohnya.

Barisan Aritmatika Tingkat Tiga

  1. Persamaan umum untuk mencari suku ke–n pada Barisan aritmatika tingkat dua

    Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)m_3}{3!}

    dengan m0 := suku awal pada barisan semula

    m1 := suku awal pada barisan tingkat pertama yang dibentuk

    m2 := suku awal pada barisan tingkat kedua yang dibentuk

    m2 := suku awal pada barisan tingkat kedua yang dibentuk atau beda konstan yang diproleh

  2. Tentukan beda antar suku pada barisan sampai ketemu beda yang konstan atau tetap

    contoh :

    misal kita punya barisan aritmatika seperti ini :

    6 18 38 68 110 …

    Kemudian konstruksi barisan tersebut sedemikian sehingga sampai ketemu beda yang tetap (konstan) seperti dibawah ini

    Photobucket

    Perhatikan barisan diatas,

    suku awal baris pertama = 6 atau m0 = 6

    suku awal baris kedua = 12 atau m1 = 12

    suku awal baris ketiga = 8 atau m2 = 8

    suku awal baris keempat = 2 atau m3 = 2

  3. Substitusi nilai m0 = 6, m1 = 12, m2 = 8 dan m3 = 2 ke persamaan umum pada langkah 1 dan kemudian disederhanakan

    Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)m_3}{3!}

    = \frac{6}{1} + \frac{(n-1)12}{1} + \frac{(n-1)(n-2)8}{2} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)2}{3!}

    = 6 + 12n-12 + (n^2-3n+2)4 + \frac{(n^3-3n^2+2n-3n^2+9n-6}{3}

    = \frac{18}{3} + \frac{36n-36}{3} + \frac{12n^2-36n+24}{3} + \frac{n^3-6n^2+11n-6}{3}

    = \frac{n^3+6n^2+11n}{3}

Secara umum, rumus untuk Barisan Aritmatika tingkat ke-p adalah

Un = \frac{m_0}{0!} + \frac{(n-1)m_1}{1!} + \frac{(n-1)(n-2)m_2}{2!} + … + \frac{(n-1)(n-2)...(n-p)m_p}{p!}

Dengan m0, m1, m2, m3 … adalah suku-suku awal dari barisan yang kita bentuk.


14 comments on “Menentukan Suku ke-n pada Barisan Aritmatika Bertingkat”

Tinggalkan Balasan ke syaiful anwar Batalkan balasan