Metode Secant (Secant Method)


Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Photobucket

Persamaan garis l adalah

\frac{x-x_1}{x_0-x_1} = \frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}

Karena x = x2 maka y = 0, sehingga diperoleh

\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1} = \frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}

x2 – x1 = -\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}

x2 = x1\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}

= x1\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

xn+1 = xn\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x0 = -1 dan x1 = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18

x2 = (3) – \frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)} = 1.8

iterasi 2 :

ambil x1 = 3 dan x2 = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)3 – 15(1.8)2 + 17(1.8) – 6 = -0.672

x3 = (1.8) – \frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x2 = 1.8 dan x3 = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x4 = (1.84319) – \frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)} = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x3 = 1.84319 dan x4 = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)3 – 15(2.10932)2 + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x5 = (2.10932) – \frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)} = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x4 = 2.10932 dan x5 = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)3 – 15(1.96752)2 + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x6 = (1.96752) – \frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)} = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x5 = 1.96752 dan x6 = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)3 – 15(1.99423)2 + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x7 = (1.99423) – \frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)} = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x6 = 1.99423 dan x7 = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)3 – 15(2.00036)2 + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x8 = (2.00036) – \frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)} = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x7 = 2.00036 dan x8 = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)3 – 15(1.999996)2 + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x9 = (1.999996) – \frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178} = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x8 = 1.999996 dan x9 = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)3 – 15(2.00000)2 + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x10 = (2.00000) – \frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)} = 0.00000

n

xn-1

xn

xn+1

f(xn-1)

f(xn)

f(xn+1)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

3

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

3

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

2.00000

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

2.00000

2.00000

-42

18

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

18

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

0.00000

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

0.00000

0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 adalah 2

Iklan

19 comments on “Metode Secant (Secant Method)

  1. gan untuk itungan iterasi no 2
    x3 = (1.8) – \frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319 , bisa dapat hasil gitu gmn gan
    ane coba hitung ,hsilnya nnti 1.45152/-18.672 hasilnya 0.077, kok yg agan bisa dpt 1.843 …

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s