Sep 1 2012

Metode Secant (Secant Method)


Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x_0, f(x_0)) dan (x_1, f(x_1)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Photobucket

Persamaan garis l adalah

\dfrac{x-x_1}{x_0-x_1} = \dfrac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}

Karena x = x_2 maka y = 0, sehingga diperoleh

\dfrac{x_2-x_1}{x_0-x_1} = \dfrac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}

x_2-x_1 = -\dfrac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}

x_2 = x_1-\dfrac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}

= x_1-\dfrac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_1)-f(x_0)}

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_{n+1} = x_n -\dfrac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x_0 dan x_1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x_2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x_1 dan x_2 sebagai titik awal dan hitung x_3. Kemudian ambil x_2 dan x_3 sebagai titik awal dan hitung x_4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x^3-15x2 + 17x -6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x^3-15x2 + 17x -6

iterasi 1 :

ambil x_0 = -1 dan x_0 = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

\begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^3 -15(-1)^2 + 17(-1) -6 = -42\\ f(3) &= 4(3)^3 -15(3)^2 + 17(3) -6 = 18\\ x_2 &= 3 -\dfrac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)} = 1.8 \end{aligned}

iterasi 2 :

ambil x_1 = 3 dan x_2 = 1.8

\begin{aligned} f(1.8) &= 4(1.8)^3 -15(1.8)2 + 17(1.8) -6 = -0.672\\ x_3 &= 1.8 -\dfrac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319 \end{aligned}

iterasi 3 :

ambil x_2 = 1.8 dan x_3 = 1.84319

\begin{aligned} f(1.84319) &= 4(1.84319)^3 -15(1.84319)^2 + 17(1.84319) -6 = -0.57817\\ x_4 &= (1.84319) -\dfrac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)} = 2.10932 \end{aligned}

iterasi 4 :

ambil x_3 = 1.84319 dan x_4 = 2.10932

\begin{aligned} f(2.10932) &= 4(2.10932)^3 -15(2.10932)^2 + 17(2.10932) -6 = 0.65939\\ x_5 &= 2.10932 -\dfrac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)} = 1.96752 \end{aligned}

iterasi 5 :

ambil x_4 = 2.10932 dan x_5 = 1.96752

\begin{aligned} f(1.96752) &= 4(1.96752)^3 -15(1.96752)2 + 17(1.96752) -6 = -0.15303\\ x_6 &= (1.96752) -\dfrac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)} = 1.99423 \end{aligned}

iterasi 6 :

ambil x_5 = 1.96752 dan x_6 = 1.99423

\begin{aligned} f(1.99423) &= 4(1.99423)^3 -15(1.99423)^2 + 17(1.99423) -6 = -0.02854\\ x_7 &= (1.99423) -\dfrac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)} = 2.00036 \end{aligned}

iterasi 7 :

ambil x_6 = 1.99423 dan x_7 = 2.00036

\begin{aligned} f(2.00036) &= 4(2.00036)^3 -15(2.00036)2 + 17(2.00036) -6 = 0.00178\\ x_8 &= 2.00036 -\dfrac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)} = 2.00000 \end{aligned}

iterasi 8 :

ambil x_7 = 2.00036 dan x_8 = 1.999996

\begin{aligned} f(1.999996) &= 4(1.999996)^3 -15(1.999996)^2 + 17(1.999996) -6 = -0.0002\\ x_9 &= (1.999996) -\dfrac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178} = 2.0000 \end{aligned}

iterasi 9 :

ambil x_8 = 1.999996 dan x_9 = 2.00000

\begin{aligned} f(2.00000) &= 4(2.00000)^3 -15(2.00000)^2 + 17(2.00000) -6 = 0.00000\\ x_{10} &= (2.00000) -\dfrac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)} = 0.00000 \end{aligned}

n

x_{n-1}

x_{n}

x_{n+1}

f(x_{n-1})

f(x_{n})

f(x_{n+1})

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

3

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

3

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

2.00000

1.8

1.84319

2.10932

1.96752

1.99423

2.00036

2.00000

2.00000

2.00000

-42

18

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

18

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

0.00000

-0.672

-0.57817

0.65939

-0.15303

-0.02854

0.00178

-0.00002

0.00000

0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x^3-15x2 + 17x -6 = 0 adalah 2

23 comments on “Metode Secant (Secant Method)”

  3. gan untuk itungan iterasi no 2
    x3 = (1.8) – \frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319 , bisa dapat hasil gitu gmn gan
    ane coba hitung ,hsilnya nnti 1.45152/-18.672 hasilnya 0.077, kok yg agan bisa dpt 1.843 …

    Balas

Tinggalkan Balasan ke al Batalkan balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s