Sep 3 2012

Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)


Aturan Trpezoida adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium.

Photobucket

sumber gambar : wikipedia

Luas dibawah kurva dengan fungsi f(x) antara a = x0 dan b = x1 didekati oleh suatu trapesium. Dalam trapesium ini f(a) dan f(b) sebagai alas dan sisi atas dan b – a adalah tinggi dari trapesiun tersebut. Berdasarkan Rumus Luas Trapesium maka diperoleh \frac{1}{2} (x1 – x0)[f(x0) + f(x1)]. Sehingga diperoleh \int_a^b f(x) \approx \frac{1}{2} h[f(x0) + f(x1)] = T1(f) dengan h = (x1 – x0). Rumus ini hanya untuk kasus satu partisi. Bagaimana dengan dua partisi, tiga partisi atau n partisi?

Sekarang perhatikan untuk dua partisi. Dengan a = x0, x1 dan x2 = b. Dari penjelasan diatas, maka diperoleh

T2(f) = \frac{1}{2}(x1 – x0)[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}(x2 – x1)[f(x1) + f(x2)]

karena x1 – x0 = x2 – x1 maka h = \frac{b-a}{2} sehingga diperoleh :

= \frac{1}{2}h[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}h[f(x1) + f(x2)]

= \frac{1}{2}h[f(x0) + 2f(x1) + f(x2)]

= h[\frac{1}{2}((f(x0) + f(x2)) + f(x1)]

= \frac{b-a}{2}[\frac{1}{2}((f(x0) + f(x2)) + f(x1)]

Sekarang perhatikan untuk tiga partisi. Dengan a = x0, x1 ,x2 dan x3 = b, diperoleh :

T3(f) = \frac{1}{2}(x1 – x0)[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}(x2 – x1) [f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{2}(x3 – x2) [f(x2) + f(x3)]

karena x1 – x0 = x2 – x1 = x3 – x2 = h dengan h = \frac{b-a}{3}, maka :

= \frac{1}{2}h[f(x0) + f(x1)] + \frac{1}{2}h[f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{2}h[f(x2) + f(x3)]

= \frac{1}{2}h[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]

= h[\frac{1}{2}(f(x0) + f(x3)) + f(x1) + f(x2)]

= \frac{b-a}{3} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x3)) + f(x1) + f(x2)]

Maka jika ditulis Rumus Aturan Trapezoida secara umum yaitu

Tn(f) = \frac{b-a}{n} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(xn)) + f(x1) + f(x2) + … + f(xn-1)]

= \frac{b-a}{n} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(xn)) + \sum_{i=1}^{n-1}f(xi)]

Contoh 1 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = ex pada interval [0, 4] menggunakan Aturan Trapezoida 4 partisi.

Penyelesaian :

h = \frac{4-0}{4} = 1

x0 = 0

x1 = a + h = 1

x2 = a + 2h = 2

x3 = a + 3h = 3

x4 = a + 4h = 4

T4(f) = \frac{b-a}{4} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x4)) + f(x1) + f(x2) + f(x3)]

= \frac{4-0}{4} [\frac{1}{2}((e0 + e4) + e1 + e2 + e3]

= \frac{1}{2}(e0 + e4) + e1 + e2 + e3

= \frac{1}{2}(1 + 54.5981) + 2.7182 + 7.3890 + 20.0855

= 57.99175

Contoh 2 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = x2 pada interval [0, 2] menggunakan Aturan Trapezoida 6 partisi.

Penyelesaian :

h = \frac{2-0}{6} = 1/3

x0 = 0

x1 = a + h = 1/3

x2 = a + 2h = 2/3

x3 = a + 3h = 1

x4 = a + 4h = 4/3

x5 = a + 5h = 5/3

x6 = a + 6h = 2

T4(f) = \frac{b-a}{6} [\frac{1}{2}((f(x0) + f(x6)) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)]

= \frac{2-0}{6} [\frac{1}{2}((02 + 22) + (1/3)2 + (2/3)2 + 12 + (4/3)2 + (5/3)2]

= \frac{1}{3} [\frac{1}{2}(0 + 4) + 1/9 + 4/9 + 1 + 16/9 + 25/9]

= 73/27

= 2.7073

Iklan

3 comments on “Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)”

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s