Sep 3 2012

Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)

Aturan Trpezoida adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium.

sumber gambar : wikipedia

Luas dibawah kurva dengan fungsi $f(x)$ antara $a = x_0$ dan $b = x_1$ didekati oleh suatu trapesium. Dalam trapesium ini $f(a)$ dan $f(b)$ sebagai alas dan sisi atas dan $b-a$ adalah tinggi dari trapesiun tersebut. Berdasarkan Rumus Luas Trapesium maka diperoleh $\dfrac{1}{2} (x_1-x_0)[f(x_0) + f(x_1)]$ . Sehingga diperoleh $\displaystyle \int_a^b f(x) \approx \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + f(x_1)] = T_1(f)$ dengan $h = (x_1-x_0)$ . Rumus ini hanya untuk kasus satu partisi. Bagaimana dengan dua partisi, tiga partisi atau $n$ partisi?

Sekarang perhatikan untuk dua partisi. Dengan $a = x_0$ , $x_1$ dan $b = x_2$ . Dari penjelasan diatas, maka diperoleh

$T_2(f) = \dfrac{1}{2} (x_1-x_0)[f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} (x_2-x_1)[f(x_1) + f(x_2)]$

karena $x_1-x_0 = x_2-x_1$ maka $h = \dfrac{b-a}{2}$ sehingga diperoleh :

$= \dfrac{1}{2}h [f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2}h [f(x_1) + f(x_2)]$

$= \dfrac{1}{2}h [f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)]$

$= h \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_2)) + f(x_1) \right]$

$= \dfrac{b-a}{2} \left[ \dfrac{1}{2}((f(x_0) + f(x_2)) + f(x_1) \right]$

Sekarang perhatikan untuk tiga partisi. Dengan $a = x_0$ , $x_1$ , $x_2$ dan $x_3 = b$ , diperoleh :

$T3(f) = \dfrac{1}{2} (x_1-x_0) [f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} (x_2-x_1) [f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{2} (x_3-x_2) [f(x_2) + f(x_3)]$

karena $x_1-x_0 = x_2-x_1 = x_3-x_2 = h$ dengan $h = \dfrac{b-a}{3}$ , maka :

$= \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} h[f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{2} h[f(x_2) + f(x_3)]$

$= \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)]$

$= h \left[ \dfrac{1}{2} (f(x_0) + f(x_3)) + f(x_1) + f(x_2) \right]$

$= \dfrac{b-a}{3} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_3)) + f(x_1) + f(x_2) \right]$

Maka jika ditulis Rumus Aturan Trapezoida secara umum yaitu

$T_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_n)) + f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_{n-1}) \right]$

$= \displaystyle \dfrac{b-a}{n} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_n)) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right]$

Contoh 1 :

Hitung luas dibawah kurva $f(x) = e^x$ pada interval $[0, 4]$ menggunakan Aturan Trapezoida 4 partisi.

Penyelesaian :

$h = \dfrac{4-0}{4} = 1$

$x_0 = 0$

$x_1 = a + h = 1$

$x_2 = a + 2h = 2$

$x_3 = a + 3h = 3$

$x_4 = a + 4h = 4$

$T_4(f) = \dfrac{b-a}{4} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_4)) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right]$

$= \dfrac{4-0}{4} \left[ \dfrac{1}{2} ((e^0 + e^4)) + e^1 + e^2 + e^3 \right]$

$= \dfrac{1}{2} (e^0 + e^4) + e^1 + e^2 + e^3$

$= \dfrac{1}{2} (1 + 54.5981) + 2.7182 + 7.3890 + 20.0855$

$= 57.99175$

Contoh 2 :

Hitung luas dibawah kurva $f(x) = x^2$ pada interval $latex [0, 2]$ menggunakan Aturan Trapezoida 6 partisi.

Penyelesaian :

$h = \dfrac{2-0}{6} = \dfrac{1}{3}$

$x_0 = 0$

$x_1 = a + h = \dfrac{1}{3}$

$x_2 = a + 2h = \dfrac{2}{3}$

$x_3 = a + 3h = 1$

$x_4 = a + 4h = \dfrac{4}{3}$

$x_5 = a + 5h = \dfrac{5}{3}$

$x_6 = a + 6h = 2$

$\begin{array}{ll} T_4(f) &= \dfrac{b-a}{6} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_6)) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) \right]\\ &= \dfrac{2-0}{6} \left[ \dfrac{1}{2} ((0^2 + 2^2) + (1/3)^2 + (2/3)^2 + 1^2 + (4/3)^2 + (5/3)^2 \right]\\ &= \dfrac{1}{3} \left[ \dfrac{1}{2} (0 + 4) + 1/9 + 4/9 + 1 + 16/9 + 25/9 \right]\\ &= \dfrac{73}{27}\\ &= 2.7073 \end{array}$

3 comments on “Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)”

azzam18

Juni 18, 2015 @ 7:33 am

thanks 🙂

Balas
Muiz Ghifari

Maret 20, 2017 @ 10:28 pm

Bang Blognya sangat membantu kuliah saya nih.. menambah pengetahuan lebih..
Salam Anak Pendidikan Matematika

Balas
- aim
  
  Maret 31, 2017 @ 10:15 pm
  
  Alhamdulillah.
  🙂
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Berliana FZ pada Pembahasan Matematika Ujian Na…
	Roy Mahendra pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Menulis Equation pada Blo…
	kang cahyo pada Menulis Equation pada Blo…
	Rezza pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Be a Better pada Aturan Sinus
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

3 comments on “Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan