Sep 3 2012

Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)


Aturan Trpezoida adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium.

Photobucket

sumber gambar : wikipedia

Luas dibawah kurva dengan fungsi f(x) antara a = x_0 dan b = x_1 didekati oleh suatu trapesium. Dalam trapesium ini f(a) dan f(b) sebagai alas dan sisi atas dan b-a adalah tinggi dari trapesiun tersebut. Berdasarkan Rumus Luas Trapesium maka diperoleh \dfrac{1}{2} (x_1-x_0)[f(x_0) + f(x_1)]. Sehingga diperoleh \displaystyle \int_a^b f(x) \approx \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + f(x_1)] = T_1(f) dengan h = (x_1-x_0). Rumus ini hanya untuk kasus satu partisi. Bagaimana dengan dua partisi, tiga partisi atau n partisi?

Sekarang perhatikan untuk dua partisi. Dengan a = x_0, x_1 dan b = x_2. Dari penjelasan diatas, maka diperoleh

T_2(f) = \dfrac{1}{2} (x_1-x_0)[f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} (x_2-x_1)[f(x_1) + f(x_2)]

karena x_1-x_0 = x_2-x_1 maka h = \dfrac{b-a}{2} sehingga diperoleh :

= \dfrac{1}{2}h [f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2}h [f(x_1) + f(x_2)]

= \dfrac{1}{2}h [f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)]

= h \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_2)) + f(x_1) \right]

= \dfrac{b-a}{2} \left[ \dfrac{1}{2}((f(x_0) + f(x_2)) + f(x_1) \right]

Sekarang perhatikan untuk tiga partisi. Dengan a = x_0, x_1 ,x_2 dan x_3 = b, diperoleh :

T3(f) = \dfrac{1}{2} (x_1-x_0) [f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} (x_2-x_1) [f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{2} (x_3-x_2) [f(x_2) + f(x_3)]

karena x_1-x_0 = x_2-x_1 = x_3-x_2 = h dengan h = \dfrac{b-a}{3}, maka :

= \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + f(x_1)] + \dfrac{1}{2} h[f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{2} h[f(x_2) + f(x_3)]

= \dfrac{1}{2} h[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)]

= h \left[ \dfrac{1}{2} (f(x_0) + f(x_3)) + f(x_1) + f(x_2) \right]

= \dfrac{b-a}{3} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_3)) + f(x_1) + f(x_2) \right]

Maka jika ditulis Rumus Aturan Trapezoida secara umum yaitu

T_n(f) = \dfrac{b-a}{n} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_n)) + f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_{n-1}) \right]

= \displaystyle \dfrac{b-a}{n} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_n)) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right]

Contoh 1 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = e^x pada interval [0, 4] menggunakan Aturan Trapezoida 4 partisi.

Penyelesaian :

h = \dfrac{4-0}{4} = 1

x_0 = 0

x_1 = a + h = 1

x_2 = a + 2h = 2

x_3 = a + 3h = 3

x_4 = a + 4h = 4

T_4(f) = \dfrac{b-a}{4} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_4)) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right]

= \dfrac{4-0}{4} \left[ \dfrac{1}{2} ((e^0 + e^4)) + e^1 + e^2 + e^3 \right]

= \dfrac{1}{2} (e^0 + e^4) + e^1 + e^2 + e^3

= \dfrac{1}{2} (1 + 54.5981) + 2.7182 + 7.3890 + 20.0855

= 57.99175

Contoh 2 :

Hitung luas dibawah kurva f(x) = x^2 pada interval $latex [0, 2]$ menggunakan Aturan Trapezoida 6 partisi.

Penyelesaian :

h = \dfrac{2-0}{6} = \dfrac{1}{3}

x_0 = 0

x_1 = a + h = \dfrac{1}{3}

x_2 = a + 2h = \dfrac{2}{3}

x_3 = a + 3h = 1

x_4 = a + 4h = \dfrac{4}{3}

x_5 = a + 5h = \dfrac{5}{3}

x_6 = a + 6h = 2

\begin{array}{ll} T_4(f) &= \dfrac{b-a}{6} \left[ \dfrac{1}{2} ((f(x_0) + f(x_6)) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) \right]\\ &= \dfrac{2-0}{6} \left[ \dfrac{1}{2} ((0^2 + 2^2) + (1/3)^2 + (2/3)^2 + 1^2 + (4/3)^2 + (5/3)^2 \right]\\ &= \dfrac{1}{3} \left[ \dfrac{1}{2} (0 + 4) + 1/9 + 4/9 + 1 + 16/9 + 25/9 \right]\\ &= \dfrac{73}{27}\\ &= 2.7073 \end{array}

3 comments on “Aturan Trapezoida (Trapezoida Rule)”

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s