Komposisi Fungsi


Komposisi Fungsi dikenal juga dengan penggandaan atau perkalian fungsi. Jika dua fungsi digandakan yaitu fungsi f dan fungsi g, ditulis g o f jika dan hanya jika kodomain f subset dari domain g. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Misalkan f : A \rightarrow B dan g : C \rightarrow D adalah suatu fungsi sehingga Rf \subseteq Df. Komposisi Fungsi f dan g, dengan notasi g o f, didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)), \forall x \epsilon Df.


Apabila ditulis dalam bentuk diagram maka akan menjadi seperti digambar dibawah ini.

Photobucket

Secara sederhana bahwa (f o g)(x) ada jika range g (Rg) berada pada domain f (Df) dan (g o f)(x) ada jika range f (Rf) berada pada domain g (Dg).

Contoh 1 :

Misalkan f : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dengan f(x) = 2x dan g : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dengan g(x) = x3. Apakah fungsi g o f dan dapat didefinisikan? Jika iya, tentukan formula g o f dan f o g.

Penyelesaian :

Kasus g o f

Karena Rf \subseteq \mathbb{R} = Dg maka komposisi fungsi g o f dapat didefinisikan dengan (g o f)(x) = g(f(x)) = g (2x) = (2x)3 = 8x3

Kasus f o g

Karena Rg \subseteq \mathbb{R} = Df maka komposisi fungsi f o g dapat didefinisikan dengan (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3

Contoh 2 :

Misalkan f : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dengan f(x) = 2x, g : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dengan g(x) = 3x dan h : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dengan h(x) = x3. Tentukan formula (f o g) o h dan f o (g o h).

Penyelesaian :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(3x)

= 2(3x)

= 6x

((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

= (f o g)(x3)

= 6x3

(g o h)(x) = g(h(x))

= g(x3)

= 3x3

(f o (g o h))(x) = f((g o h)(x))

= f(g(h(x)))

= f(3x3)

= 2(3x3)

= 6x3

Dari Contoh 1 dan Contoh 2 diperoleh sifat-sifat Komposisi Fungsi sebagai berikut:

  1. (g o f)(x) \neq (f o g)(x) (tidak berlaku sifat komutatif)
  2. ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x) (sifat asosisatif)

Untuk sifat yang kedua, perhatikan pembuktiannya.

Didefinisikan fungsi f, g dan h sebagai berikut, misalkan f : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}, g : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} dan h : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R}.

((f o g) o h)(x) = (f o g)(x) o h(x)

= f(g(x)) o h(x)

= f(g(h(x)))

= f((g o h)(x))

= f(x) o (g o h)(x)

= (f o (g o h))(x)

((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x) \blacksquare

 

Sumber :

Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

Iklan

One comment on “Komposisi Fungsi

  1. Ping-balik: Grup dalam Rubik | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s