Sep 5 2012

Metode Titik tetap (Fixed Point)


Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x) secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Teorema :

Diketahui g(x) fungsi kontinu dan \{X_n\} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka

Jika \lim_{n \to \infty} X_n = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Photobucket

Sumber gambar : karlcalculus

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x_1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x_1) = x_2, setelah itu titik x_2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x_2) = x_3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x_1 (penetuan titik awal)

x_2 = g(x_1) (iterasi pertama)

x_3 = g(x_2) (iterasi kedua)

.

.

.

x_n = g(x_{n-1}) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|x_n - x_{n-1}| < \epsilon).

Contoh :

Selesaikan persamaan x-e^{-x} = 0 dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah.

Penyelesaian :

f(x) = x-e^{-x} = 0

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk x = g(x), sehingga diperoleh x=e^{-x}

misal kita ambil titik awalnya x_1 = 0.5, maka iterasinya adalah x_{n+1} = e^{-x_{n}} akan diperoleh

x_1 = 0.5 (penetuan titik awal)

f(x_1) = 0.5- e^{-0.5} = -0.1065

x^2 = g(x_1) = e^{-0.5} = 0.6065 (iterasi pertama)

f(x_2) = 0.6065-e^{-0.6065} = 0.0612

x_3 = g(x_2) = e^{-0.6065} = 0.5452 (iterasi ke-2)

f(x_3) = 0.5452 -e^{-0.5452} = -0.0345

x_4 = g(x_3) = e^{-0.5452} = 0.5797 (iterasi ke-3)

f(x_4) = 0.5797 -e^{-0.5797} = 0.0196

.

.

.

x_9 = g(x_8) e^{-0.5664} = 0.5675 (iterasi ke-9)

f(x_9) = 0.5 -e^{-0.5} = -0.1065

x_{10} = g(x_9) e^{-0.5675} = 0.5669 (iterasi ke-10)

f(x_{10}) = 0.5 -e^{-0.5} = -0.1065

sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh

n

x_n

g(x_{n-1})

f(x_n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.5

0.6065

0.5452

0.5797

0.5600

0.5712

0.5648

0.5684

0.5664

0.5675

0.6065

0.5452

0.5797

0.5600

0.5712

0.5648

0.5684

0.5664

0.5675

0.5669

-0.1065

0.0612

-0.0345

0.0196

-0.0112

0.0006

-0.0003

0.00019

-0.00011

0.00005

Jadi hampiran akar yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah 0.5675

Contoh 2 :

Hitunglah hampiran akar dari persamaan x^2-2x-3 = 0 pada interval [1, 4] menggunakan Fixed Point.

Penyelesaian :

Misal persamaan x^2-2x-3 = 0 diubah menjadi x(x-2)-3 = 0 sehingga diperoleh x = \dfrac{3}{x-2} dan iterasinya menjadi x_{n+1} = \dfrac{3}{x_{n-2}}. ambil titik awal x_1 = 4.

Sehingga apabila ditulis dalam tabel diperoleh :

n

x_n

g(x_{n-1})

f(x_n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

4

1.5

-6

-0.375

-1.2631

-0.9193

-1.0276

-0.9908

-1.003

-0.999

-1.00033

-0.9989

-1.00036

-0.99988

-1.00004

-0.99998

-1.00001

-0.99999

-1.00000

1.5

-6

-0.375

-1.2631

-0.9193

-1.0276

-0.9908

-1.003

-0.999

-1.00033

-0.9989

-1.00036

-0.99988

-1.00004

-0.99998

-1.00001

-0.99999

-1.00000

-1.00000

5

-3.75

45

-2.1093

1.1216

-0.3162

0.1111

-0.0367

0.012

-0.00039

0.00013

-0.00043

0.00014

-0.00004

0.000016

-0.000008

0.00004

-0.000004

0

Jadi akar dari f(x) = x^2-2x-3 = 0 adalah -1

Sekarang bagaimana jika fungsi pada Contoh 2 kita ubah menjadi x = \dfrac{x^3+1}{3} ? Berapa nilai akarnya? Pada kasus ini jika menggunakan Fixed Point maka kita tidak akan menemukan hampiran akarnya karena fungsi tersebut divergen. Bagaimana cara kita bisa menentukan bahwa fungsi tersebut divergen atau konvergen? Perhatikan teorema dibawah ini.

Teorema :

Diketahui g kontinu pada [a, b] dan paling sedikit memiliki satu akar pada [a, b] jika |g'(x)| \leq M < 1, \forall x \in [a, b] maka iterasi x_{n+1} = g(x_n) dengan x_i \in [a, b] menghasilkan barisan \{X_n\} konvergen yaitu \lim_{n \to \infty} x_n = L \Leftrightarrow \{X_n\} \rightarrow 0

x = \dfrac{x^3+1}{3} = g(x)

g'(x) = 3x^2, dimana 3x^2 \geq 0, maka menurut Teorema diatas g(x) divergen.

INGAT : dalam Fixed Point, g(x) harus konvergen. Jika divergen, maka tidak bisa dilakukan perhitungan akar menggunakan Fixed Point ini

6 comments on “Metode Titik tetap (Fixed Point)”

  2. mau tanya , apakah jk fungsi iterasi a memiliki titik tetap tunggal maka iterasi Xn+1 = a(Xn) konvergen ke akar persamaan f(x)= 0 ? dan apakah jika fungsi a tidak memiliki titik tetap maka iterasi Xn+1=a(Xn) divergen ?
    tolong jawabannya . terimakasih

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s