Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi
yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal
adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi
bila
dan
.
Teorema :
Diketahui fungsi kontinu dan
adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka
Jika maka
adalah Fixed Point fungsi
.
Sumber gambar : karlcalculus
Prosedur Metode Titik Tetap
Misal adalah fungsi yang konvergen dengan
, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk
. Kemudian tentukan nilai titik awal, misal
. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan
sedemikian sehingga
, setelah itu titik
yang diperoleh substitusikan lagi ke
sedemikian sehingga
. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi
(penetuan titik awal)
(iterasi pertama)
(iterasi kedua)
.
.
.
(iterasi ke-
)
Iterasi ini akan berhenti jika dan
atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil
.
Contoh :
Selesaikan persamaan dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah.
Penyelesaian :
ubah terlebih dahulu kedalam bentuk , sehingga diperoleh
misal kita ambil titik awalnya , maka iterasinya adalah
akan diperoleh
(penetuan titik awal)
(iterasi pertama)
(iterasi ke-2)
(iterasi ke-3)
.
.
.
(iterasi ke-9)
(iterasi ke-10)
sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh
n |
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0.5 0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675 |
0.6065 0.5452 0.5797 0.5600 0.5712 0.5648 0.5684 0.5664 0.5675 0.5669 |
-0.1065 0.0612 -0.0345 0.0196 -0.0112 0.0006 -0.0003 0.00019 -0.00011 0.00005 |
Jadi hampiran akar yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah 0.5675
Contoh 2 :
Hitunglah hampiran akar dari persamaan pada interval
menggunakan Fixed Point.
Penyelesaian :
Misal persamaan diubah menjadi
sehingga diperoleh
dan iterasinya menjadi
. ambil titik awal
.
Sehingga apabila ditulis dalam tabel diperoleh :
n |
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
4 1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000 |
1.5 -6 -0.375 -1.2631 -0.9193 -1.0276 -0.9908 -1.003 -0.999 -1.00033 -0.9989 -1.00036 -0.99988 -1.00004 -0.99998 -1.00001 -0.99999 -1.00000 -1.00000 |
5 -3.75 45 -2.1093 1.1216 -0.3162 0.1111 -0.0367 0.012 -0.00039 0.00013 -0.00043 0.00014 -0.00004 0.000016 -0.000008 0.00004 -0.000004 0 |
Jadi akar dari adalah
Sekarang bagaimana jika fungsi pada Contoh 2 kita ubah menjadi ? Berapa nilai akarnya? Pada kasus ini jika menggunakan Fixed Point maka kita tidak akan menemukan hampiran akarnya karena fungsi tersebut divergen. Bagaimana cara kita bisa menentukan bahwa fungsi tersebut divergen atau konvergen? Perhatikan teorema dibawah ini.
Teorema :
Diketahui kontinu pada
dan paling sedikit memiliki satu akar pada
jika
,
maka iterasi
dengan
menghasilkan barisan
konvergen yaitu
, dimana
, maka menurut Teorema diatas
divergen.
INGAT : dalam Fixed Point, harus konvergen. Jika divergen, maka tidak bisa dilakukan perhitungan akar menggunakan Fixed Point ini
gan ada program pascalnya gak ?
maaf gan, gk punya kalo utk programnya
mau tanya , apakah jk fungsi iterasi a memiliki titik tetap tunggal maka iterasi Xn+1 = a(Xn) konvergen ke akar persamaan f(x)= 0 ? dan apakah jika fungsi a tidak memiliki titik tetap maka iterasi Xn+1=a(Xn) divergen ?
tolong jawabannya . terimakasih
Kak kenapa x1 nya diambil 4 yah kak
Kak kenapa x1 nya diambil 4 yah kak