Sep 5 2012

Metode Titik tetap (Fixed Point)

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi $f(x)$ secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi $f(x)$ yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal $x$ adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi $f(x)$ bila $g(x) = x$ dan $f(x) = 0$ .

Teorema :

Diketahui $g(x)$ fungsi kontinu dan $\{X_n\}$ adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka

Jika $\lim_{n \to \infty} X_n = x$ maka $x$ adalah Fixed Point fungsi $g(x)$ .

Sumber gambar : karlcalculus

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal $f(x)$ adalah fungsi yang konvergen dengan $f(x) = 0$ , maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk $x = g(x)$ . Kemudian tentukan nilai titik awal, misal $x_1$ . Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan $g(x)$ sedemikian sehingga $g(x_1) = x_2$ , setelah itu titik $x_2$ yang diperoleh substitusikan lagi ke $g(x)$ sedemikian sehingga $g(x_2) = x_3$ . Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

$x_1$ (penetuan titik awal)

$x_2 = g(x_1)$ (iterasi pertama)

$x_3 = g(x_2)$ (iterasi kedua)

$x_n = g(x_{n-1})$ (iterasi ke- $n$ )

Iterasi ini akan berhenti jika $x = g(x)$ dan $f(x) = 0$ atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil $(|x_n - x_{n-1}| < \epsilon)$ .

Contoh :

Selesaikan persamaan $x-e^{-x} = 0$ dengan menggunakan Fixed Point dengan 10 iterasi atau sampai dua angka dibelakang koma tidak berubah.

Penyelesaian :

$f(x) = x-e^{-x} = 0$

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk $x = g(x)$ , sehingga diperoleh $x=e^{-x}$

misal kita ambil titik awalnya $x_1 = 0.5$ , maka iterasinya adalah $x_{n+1} = e^{-x_{n}}$ akan diperoleh

$x_1 = 0.5$ (penetuan titik awal)

$f(x_1) = 0.5- e^{-0.5} = -0.1065$

$x^2 = g(x_1) = e^{-0.5} = 0.6065$ (iterasi pertama)

$f(x_2) = 0.6065-e^{-0.6065} = 0.0612$

$x_3 = g(x_2) = e^{-0.6065} = 0.5452$ (iterasi ke-2)

$f(x_3) = 0.5452 -e^{-0.5452} = -0.0345$

$x_4 = g(x_3) = e^{-0.5452} = 0.5797$ (iterasi ke-3)

$f(x_4) = 0.5797 -e^{-0.5797} = 0.0196$

$x_9 = g(x_8) e^{-0.5664} = 0.5675$ (iterasi ke-9)

$f(x_9) = 0.5 -e^{-0.5} = -0.1065$

$x_{10} = g(x_9) e^{-0.5675} = 0.5669$ (iterasi ke-10)

$f(x_{10}) = 0.5 -e^{-0.5} = -0.1065$

sehingga apabila ditulis dalam bentuk table akan diperoleh

$x_n$

$g(x_{n-1})$

$f(x_n)$

0.5

0.6065

0.5452

0.5797

0.5600

0.5712

0.5648

0.5684

0.5664

0.5675

0.6065

0.5452

0.5797

0.5600

0.5712

0.5648

0.5684

0.5664

0.5675

0.5669

-0.1065

0.0612

-0.0345

0.0196

-0.0112

0.0006

-0.0003

0.00019

-0.00011

0.00005

Jadi hampiran akar yang diperoleh menggunakan Fixed Point adalah 0.5675

Contoh 2 :

Hitunglah hampiran akar dari persamaan $x^2-2x-3 = 0$ pada interval $[1, 4]$ menggunakan Fixed Point.

Penyelesaian :

Misal persamaan $x^2-2x-3 = 0$ diubah menjadi $x(x-2)-3 = 0$ sehingga diperoleh $x = \dfrac{3}{x-2}$ dan iterasinya menjadi $x_{n+1} = \dfrac{3}{x_{n-2}}$ . ambil titik awal $x_1 = 4$ .

Sehingga apabila ditulis dalam tabel diperoleh :

$x_n$

$g(x_{n-1})$

$f(x_n)$

1.5

-6

-0.375

-1.2631

-0.9193

-1.0276

-0.9908

-1.003

-0.999

-1.00033

-0.9989

-1.00036

-0.99988

-1.00004

-0.99998

-1.00001

-0.99999

-1.00000

1.5

-6

-0.375

-1.2631

-0.9193

-1.0276

-0.9908

-1.003

-0.999

-1.00033

-0.9989

-1.00036

-0.99988

-1.00004

-0.99998

-1.00001

-0.99999

-1.00000

-3.75

-2.1093

1.1216

-0.3162

0.1111

-0.0367

0.012

-0.00039

0.00013

-0.00043

0.00014

-0.00004

0.000016

-0.000008

0.00004

-0.000004

Jadi akar dari $f(x) = x^2-2x-3 = 0$ adalah $-1$

Sekarang bagaimana jika fungsi pada Contoh 2 kita ubah menjadi $x = \dfrac{x^3+1}{3}$ ? Berapa nilai akarnya? Pada kasus ini jika menggunakan Fixed Point maka kita tidak akan menemukan hampiran akarnya karena fungsi tersebut divergen. Bagaimana cara kita bisa menentukan bahwa fungsi tersebut divergen atau konvergen? Perhatikan teorema dibawah ini.

Teorema :

Diketahui $g$ kontinu pada $[a, b]$ dan paling sedikit memiliki satu akar pada $[a, b]$ jika $|g'(x)| \leq M < 1$ , $\forall x \in [a, b]$ maka iterasi $x_{n+1} = g(x_n)$ dengan $x_i \in [a, b]$ menghasilkan barisan $\{X_n\}$ konvergen yaitu $\lim_{n \to \infty} x_n = L \Leftrightarrow \{X_n\} \rightarrow 0$

$x = \dfrac{x^3+1}{3} = g(x)$

$g'(x) = 3x^2$ , dimana $3x^2 \geq 0$ , maka menurut Teorema diatas $g(x)$ divergen.

INGAT : dalam Fixed Point, $g(x)$ harus konvergen. Jika divergen, maka tidak bisa dilakukan perhitungan akar menggunakan Fixed Point ini

4 comments on “Metode Titik tetap (Fixed Point)”

Loker Ilmu IT

September 25, 2016 @ 9:45 pm

gan ada program pascalnya gak ?

Balas
- aim
  
  Oktober 10, 2016 @ 4:05 pm
  
  maaf gan, gk punya kalo utk programnya
  
  Balas
Nisa Aliya Fathna

Maret 28, 2018 @ 11:35 am

mau tanya , apakah jk fungsi iterasi a memiliki titik tetap tunggal maka iterasi Xn+1 = a(Xn) konvergen ke akar persamaan f(x)= 0 ? dan apakah jika fungsi a tidak memiliki titik tetap maka iterasi Xn+1=a(Xn) divergen ?
tolong jawabannya . terimakasih

Balas
- aim
  
  Maret 29, 2018 @ 8:30 am
  
  $a$ disini apakah fungsi ? atau mksudnya iterasi ke- $a$ ?
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ming Ari pada Teknik Integral : Integral Fun…
	Taufiqur pada Koleksi Buku
	Subhan pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Domain Dan Kodomain pada Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Kshaarii12 pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naysilla Ramadhani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Fauzan Alfikri pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Dwi Lestari pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Amaludin pada Soal dan Pembahasan Tes Kemamp…
	Shasa pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

4 comments on “Metode Titik tetap (Fixed Point)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan