Aturan Simpson 1 per 3 (Simpson Rule)


Aturan Simpson adalah suatu aturan yang digunakan untuk menghitung luas suatu kurva polinom berderajat dua P_2(x) atau berderajat tiga P_3(x) dengan pendekatan yaitu pendekatan menggunakan pastisi berbentuk parabola. Dalam Metode Simpson ada dua jenis yaitu Metode Simpson 1 per 3 dan Metode Simpson 3 per 8. Tapi dalam tulisan ini saya terlebih dahulu akan membahas Metode Simpson 1 per 3.

Aturan Simpson 1 per 3 ini mempartisi kurva polinom berderajat dua P_2(x) dengan 3 titik, 5 titik, 7 titik dan seterusnya sedemikian sehingga ruang partisi yang dibentuk berjumlah genap.

Photobucket

Perhatikan gambar diatas, misal kita menggunakan f(x) = Ax^2 + Bx + C dengan tiga titik partisi yaitu x_0, x_1 dan x_2 dengan mengambil x_0=-h, x_1=0 dan x_2=h. Perlu diingat bahwa partisi yang dilakukan disini dianggap sama besar untuk setiap ruang partisi.

Substitusi nilai -h, 0 dan h ke f(x, sedemikian sehingga diperoleh

(-h, f(x_0)) \rightarrow f(a) = Ah^2 - Bh + C … (i)

(0, f(x_1)) \rightarrow f(h) = C … (ii)

(h, f(x_2)) \rightarrow f(b) = Ah^2 + Bh + C … (iii)

eliminasi (i) dan (ii) :
\begin{array}{lll} f(x_0) &= Ah^2-Bh + C\\ f(x_1) &= C & -\\ ------ & -------\\ f(x_0)-f(x_1) &= Ah^2-Bh & \ldots \text{(iv)} \end{array}

eliminasi (iii) dan (ii) :
\begin{array}{lll} f(x_2) &= Ah^2 + Bh + C\\ f(x_1) &= C & -\\ ------ & -------\\ f(x_2)-f(x_1) &= Ah^2+Bh & \ldots \text{(v)} \end{array}

eliminasi (iv) dan (v) :
\begin{array}{lll} f(x_0)-f(x_1) &= Ah^2-Bh\\ f(x_2)-f(x_1) &= Ah^2+Bh & +\\ ---------- & -------\\ f(x_0)-2f(x_1) + f(x_2) &= 2Ah^2 & \ldots \text{(vi)} \end{array}

integralkan f(x) dengan batas bawah dan batas atas masing-masing -h dan h sehingga diperoleh luas dibawah kurva.

\displaystyle \int_a^b (Ax2 + Bx + C) ~dx = \dfrac{1}{3} Ax^3 + \dfrac{1}{2} Bx^2 + Cx ~|_{-h}^h

= \left[ \dfrac{1}{3} Ah^3 + \dfrac{1}{2} Bh^2 + Ch \right] - \left[ -\dfrac{1}{3} Ah^3 + \dfrac{1}{2} Bh^2 -Ch \right]
= \dfrac{2}{3} (Ah^3 + 2Ch)
= \dfrac{1}{3}h (2Ah^2 + 6C) … (vii)

Substitusi (ii) dan (vi) ke persamaan (vii) :

= \dfrac{1}{3}h [(f(x_0) -f(x_1) + f(x_2)) + 6f(x_1)]

= \dfrac{1}{3}h [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]

S2(x) = \displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx

= \dfrac{1}{3}h [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)], dengan h = \dfrac{x_1-x_0}{2}

Rumus Simpson 1 per 3 untuk 2 pias atau partisi menggunakan 5 titik,

S_4(x) = \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} f(x) ~dx + \int_{x_1}^{x_2} f(x) ~dx

= \dfrac{1}{3}h [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{3}h [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]

= \dfrac{1}{3}h [(f(x_0) + f(x_4)) + 4(f(x_1) f(x_3)) + 2f(x_2)], dengan h = \dfrac{x_2-x_0}{4}$

Rumus Simpson 1 per 3 untuk n pias,

S_n(x) = \displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx + \int_{x_2}^{x_4} ~f(x) dx + \ldots + \int_{x_{n-2}}^{x_n} f(x) ~dx

= \dfrac{1}{3}h [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)] + \dfrac{1}{3}h [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)] + \ldots + \dfrac{1}{3}h [f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]

= \dfrac{1}{3}h [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)], dengan h = \dfrac{x_n-x_0}{n}

= \displaystyle \dfrac{1}{3}h \left[(f(x_0) + f(x_n)) + 4\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2}^{n-2} f(x_i) \right]

Contoh :

Hitunglah I = \displaystyle \int_0^4 e^x ~dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 4 pias.

Penyelesaian :

h = \dfrac{4-0}{4} = 1

x_0 = 0

x_1 = a + h = 1

x_2 = a + 2h = 2

x_3 = a + 3h = 3

x_4 = a + 4h = 4

S_4(x) = \dfrac{1}{3}h [(f(x_0) + f(x_4)) + 4(f(x_1) + f(x_3)) + 2f(x_2)]

= \dfrac{1}{3}(1) [(e^0 + e^4) + 4(e^1 + e^3) + 2e^2]

= \dfrac{1}{3} [(1 + 54.5981) + 4(2.7182 + 20.0855) + 2(7.3890)]

= \dfrac{1}{3} [55.5981 + 91.2148 + 14.778]

= 53.8636

4 comments on “Aturan Simpson 1 per 3 (Simpson Rule)

  1. Emmm metode simbol hurufnya dan rmsnya agak brbda dngan ajran guru saya dan buku yg saya punya… Jd,agak rumit.v,tak apalah. Saya mau tanya f akhirnya hrus ganjil / genap.? D buku saya gak rinci cman ad cntohnya doank.
    Mohon d jwb.
    Terima kasih.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s