Aturan Simpson 1 per 3 (Simpson Rule)


Aturan Simpson adalah suatu aturan yang digunakan untuk menghitung luas suatu kurva polinom berderajat dua p2(x) atau berderajat tiga p3(x) dengan pendekatan yaitu pendekatan menggunakan pastisi berbentuk parabola. Dalam Metode Simpson ada dua jenis yaitu Metode Simpson 1 per 3 dan Metode Simpson 3 per 8. Tapi dalam tulisan ini saya terlebih dahulu akan membahas Metode Simpson 1 per 3.

Aturan Simpson 1 per 3 ini mempartisi kurva polinom berderajat dua p2(x) dengan 3 titik, 5 titik, 7 titik dan seterusnya sedemikian sehingga ruang partisi yang dibentuk berjumlah genap.

Photobucket

Perhatikan gambar diatas, misal kita menggunakan f(x) = Ax2 + Bx + C dengan tiga titik partisi yaitu x0, x1 dan x2 dengan mengambil x0 = -h, x1 = 0 dan x2 = h. Perlu diingat bahwa partisi yang dilakukan disini dianggap sama besar untuk setiap ruang partisi.

Substitusi nilai -h, 0 dan h ke f(x), sedemikian sehingga diperoleh

(-h, f(x0)) \rightarrow f(a) = Ah2 – Bh + C … (i)

(0, f(x1)) \rightarrow f(h) = C … (ii)

(h, f(x2)) \rightarrow f(b) = Ah2 + Bh + C … (iii)

eliminasi (i) dan (ii) :

f(x0) = Ah2 – Bh + C

f(x1) = C

f(x0) – f(x1) = Ah2 – Bh … (iv)

eliminasi (iii) dan (ii) :

f(x2) = Ah2 + Bh + C

f(x1) = C

f(x2) – f(x1) = Ah2 + Bh … (v)

eliminasi (iv) dan (v) :

f(x0) – f(x1) = Ah2 – Bh

f(x2) – f(x1) = Ah2 + Bh +

f(x0) – 2f(x1) + f(x2) = 2Ah2 … (vi)

integralkan f(x) dengan batas bawah dan batas atas masing-masing -h dan h sehingga diperoleh luas dibawah kurva.

\int_a^b (Ax2 + Bx + C) dx = \frac{1}{3} Ax3 + \frac{1}{2} Bx2 + Cx |-hh

= [\frac{1}{3} Ah3 + \frac{1}{2} Bh2 + Ch] – [-\frac{1}{3} Ah3 + \frac{1}{2} Bh2 – Ch]

= \frac{2}{3} (Ah3 + 2Ch)

= \frac{1}{3}h (2Ah2 + 6C) … (vii)

Substitusi (ii) dan (vi) ke persamaan (vii) :

= \frac{1}{3}h [(f(x0) – f(x1) + f(x2)) + 6f(x1)]

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

S2(x) = \int_{x_0}^{x_2} f(x) dx

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)], h = \frac{x_1-x_0}{2}

Rumus Simpson 1 per 3 untuk 2 pias atau partisi menggunakan 5 titik,

S4(x) = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{3}h [f(x2) + 4f(x3) + f(x4)]

= \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(x4)) + 4(f(x1) f(x3)) + 2f(x2)], h = \frac{x_2-x_0}{4}

Rumus Simpson 1 per 3 untuk n pias,

Sn(x) = \int_{x_0}^{x_2} f(x) dx + \int_{x_2}^{x_4} f(x) dx + … + \int_{x_{n-2}}^{x_n} f(x) dx

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{3}h [f(x2) + 4f(x3) + f(x4)] + … + \frac{1}{3}h [f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) + … + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)], h = \frac{x_n-x_0}{n}

= \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(xn)) + 4\sum_{i=1}^{n-1}f(xi) + 2\sum_{i=2}^{n-2}f(xi)]

Contoh :

Hitunglah I = \int_0^4 ex dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 4 pias.

Penyelesaian :

h = \frac{4-0}{4} = 1

x0 = 0

x1 = a + h = 1

x2 = a + 2h = 2

x3 = a + 3h = 3

x4 = a + 4h = 4

S4(x) = \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(x4)) + 4(f(x1) + f(x3)) + 2f(x2)]

= \frac{1}{3}(1) [(e0 + e4) + 4(e1 + e3) + 2e2]

= \frac{1}{3} [(1 + 54.5981) + 4(2.7182 + 20.0855) + 2(7.3890)]

= \frac{1}{3} [55.5981 + 91.2148 + 14.778]

= 53.8636

Iklan

3 comments on “Aturan Simpson 1 per 3 (Simpson Rule)

  1. Emmm metode simbol hurufnya dan rmsnya agak brbda dngan ajran guru saya dan buku yg saya punya… Jd,agak rumit.v,tak apalah. Saya mau tanya f akhirnya hrus ganjil / genap.? D buku saya gak rinci cman ad cntohnya doank.
    Mohon d jwb.
    Terima kasih.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s