Aturan Simpson 3 per 8 (Simpson Rule)


Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Seperti yang kita tahu bahwa Aturan Simpson 1 per 3 digunakan untuk menghitung luas dibawah kurva dengan jumlah partisi yang berkelipan 2. Bagaimana jika paritisinya berkelipatan 3? Seperti 3 partisi, 6 partisi, 9 partisi dan seterusnya ? Luas kurva dengan jumlah partisi kelipatan 3 digunakan Aturan Simpson 3 per 8. Pada keadaan awal yaitu kurva dengan 3 partisi, saya memandang x0 = 0, x1 = h, x2 = h dan x3 = 3h.

Photobucket

Untuk pembuktian formula Aturan Simpson 3 per 8 ini kita menggunakan polinom berderajat tiga, yaitu f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D, substitusi nilai x0 = 0, x1 = h, x2 = h dan x3 = 3h ke fungsi f(x),

(0, f(x0)) \rightarrow f(x0) = D … (i)

(h, f(x1)) \rightarrow f(x1) = Ah3 + Bh2 + Ch + D … (ii)

(2h, f(x2)) \rightarrow f(x2) = 8Ah3 + 4Bh2 + 2Ch + D … (iii)

(3h, f(x3)) \rightarrow f(x3) = 27Ah3 + 9Bh2 + 3C + D … (iv)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi f(x).

\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx = \int_0^{3h} (Ax3 + Bx2 + Cx + D) dx

= \frac{1}{4}Ax4 + \frac{1}{3}Bx3 + \frac{1}{2}Cx2 + Dx |03h

= \frac{81}{4}Ah4 + 9Bh3 + \frac{9}{2}Ch2 + 3Dh … (v)

asumsikan luas area = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2) + S.f(x3), sehingga diperoleh

\frac{81}{4}Ah4 + 9Bh3 + \frac{9}{2}Ch2 + Dh = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2) + S.f(x3) … (vi)

Substitusi persamaan (i), (ii), (iii) dan (iv) ke persamaan (vi),

\frac{81}{4}Ah4 + 9Bh3 + \frac{9}{2}Ch2 + 3Dh

= P.D + Q.(Ah3 + Bh2 + Ch + D) + R.(8Ah3 + 4Bh2 + 2Ch + D) + S.(27Ah3 + 9Bh2 + 3C + D)

= PD + QAh3 + QBh2 + QCh + QD + R8Ah3 + R4Bh2 + R2Ch + RD + S27Ah3 + S9Bh2 + S3C + SD

= Ah3(Q + 8R + 27S) + Bh2(Q + 4R + 9S) + Ch(Q + 2R + 3S) + D(P + Q + R + S)

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

\frac{81}{4}h = Q + 8R + 27S … (vii)

9h = Q + 4R + 9S … (viii)

\frac{9}{2}h = Q + 2R + 3S … (ix)

3h = P + Q + R + S … (x)

eliminasi (vii) dan (viii), diperoleh

Q + 8R + 27S = \frac{81}{4}h

Q + 4R + 9S = 9h

4R + 18S = \frac{45}{4}h … (xi)

eliminasi (viii) dan (ix) diperoleh,

Q + 4R + 9S = 9h

Q + 2R + 3S = \frac{9}{2}h

2R + 6S = \frac{9}{2}h … (xii)

eliminasi (xi) dan (xii) diperoleh,

2R + 6S = \frac{9}{2}h (x3)

6R + 24S = \frac{63}{4}h

6R + 18S = \frac{54}{4}h

6R + 24S = \frac{63}{4}h

-6S = -\frac{9}{4}h

S = \frac{3}{8}h

substitusi nilai S ke persamaan (xii), diperoleh

2R + 6(\frac{3}{8})h = \frac{9}{2}h

2R = \frac{36}{8}h – \frac{18}{8}h

R = \frac{9}{8}h

substitusi nilai R dan S ke persamaan (ix), diperoleh

\frac{9}{2}h = Q + 2(\frac{9}{8})h + 3(\frac{3}{8})h

Q = \frac{36}{8}h – \frac{18}{8}h – \frac{9}{8}h

Q = \frac{9}{8}h

substitusi nilai Q, R dan S ke persamaan (x), diperoleh

3h = P + \frac{9}{8}h + \frac{9}{8}h + \frac{3}{8}h

P = \frac{24}{8}h – \frac{9}{8}h – \frac{9}{8}h – \frac{3}{8}h

P = \frac{3}{8}h

Karena,

\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2) + S.f(x3)

= \frac{3}{8}h f(x0) + \frac{9}{8}h f(x1) + \frac{9}{8}h f(x2) + \frac{3}{8}h f(x3)

S1(f) = \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

= \frac{3}{8}h [(f(x0) + f(x3))+ 3f(x1) + 3f(x2)]

Untuk 2 pias (6 partisi), rumus Aturan Simpson 3 per 8 diperoleh,

S2(f) = \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] + \frac{3}{8}h [f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + f(x6)]

= \frac{3}{8}h [(f(x0) + f(x6)) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5)]

Untuk 3 pias (9 partisi), rumus Aturan Simpson 3 per 8 diperoleh,

S2(f) = \frac{3}{8}h [(f(x0) + f(x9)) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] + \frac{3}{8}h [f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + f(x6)] + \frac{3}{8}h [f(x6) + 3f(x7) + 3f(x8)]

= \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + 2f(x6) + 3f(x7) + 3f(x8) + f(x9)]

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 3 per 8 dengan n partisi (n := kelipatan 3) banyak pias adalah :

Sn(f) = \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] + \frac{3}{8}h [f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + f(x6)] + … + \frac{3}{8}h [f(xn-6) + 3f(xn-5) + 3f(xn-4) + f(xn-3)] + \frac{3}{8}h [f(xn-3) + 3f(xn-2) + 3f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3) + f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + f(x6) + … + f(xn-6) + 3f(xn-5) + 3f(xn-4) + f(xn-3) + f(xn-3) + 3f(xn-2) + 3f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{3}{8}h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + 3f(x5) + 2f(x6) + … + 2f(xn-6) + 3f(xn-5) + 3f(xn-4) + 2f(xn-3) + 3f(xn-2) + 3f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(xn)) + 3\sum_{i=1}^{n-2} f(xi) 2\sum_{i=3}^{n-3} f(xi)]

INGAT : Aturan Simpson 3 per 8 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 3

4 comments on “Aturan Simpson 3 per 8 (Simpson Rule)

    • Kalau jurnal, sudah banyak web yang menyediakan mas dan jurnal terlalu luas makanya saya tidak upload koleksi jurnal yang ada di laptop. Anda tinggal cari sesuai kebutuhan saja

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s