Sep 7 2012

Aturan Simpson 3 per 8 (Simpson Rule)

Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Seperti yang kita tahu bahwa Aturan Simpson 1 per 3 digunakan untuk menghitung luas dibawah kurva dengan jumlah partisi yang berkelipan 2. Bagaimana jika paritisinya berkelipatan 3? Seperti 3 partisi, 6 partisi, 9 partisi dan seterusnya ? Luas kurva dengan jumlah partisi kelipatan 3 digunakan Aturan Simpson 3 per 8. Pada keadaan awal yaitu kurva dengan 3 partisi, saya memandang $x_0 = 0$ , $x_1 = h$ , $x_2 = h$ dan $x_3 = 3h$ .

Untuk pembuktian formula Aturan Simpson 3 per 8 ini kita menggunakan polinom berderajat tiga, yaitu $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ , substitusi nilai $x_0 = 0$ , $x_1 = h$ , $x_2 = h$ dan $x_3 = 3h$ ke fungsi $f(x)$ ,

$(0, f(x_0)) \rightarrow$ f(x_0) = D$ … (i)

$(h, f(x_1)) \rightarrow f(x_1) = Ah^3 + Bh^2 + Ch + D$ … (ii)

$(2h, f(x_2)) \rightarrow f(x_2) = 8Ah^3 + 4Bh^2 + 2Ch + D$ … (iii)

$(3h, f(x_3)) \rightarrow f(x_3) = 27Ah^3 + 9Bh^2 + 3C + D$ … (iv)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi $f(x)$ .

$\displaystyle \int_{x_0}^{x_3} f(x) ~dx = \int_0^{3h} (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) dx$

= $\dfrac{1}{4}Ax^4 + \dfrac{1}{3}Bx^3 + \dfrac{1}{2}Cx^2 + Dx ~|_0^{3h}$

= $\dfrac{81}{4}Ah^4 + 9Bh^3 + \dfrac{9}{2} Ch^2 + 3Dh$ … (v)

asumsikan luas area $= P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2) + S \cdot f(x_3)$ , sehingga diperoleh

$\dfrac{81}{4} Ah^4 + 9Bh^3 + \dfrac{9}{2}Ch^2 + Dh = P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2) + S \cdot f(x_3)$ … (vi)

Substitusi persamaan (i), (ii), (iii) dan (iv) ke persamaan (vi),

$\dfrac{81}{4} Ah^4 + 9Bh^3 + \dfrac{9}{2} Ch^2 + 3Dh$

$= P \cdot D + Q(Ah^3 + Bh^2 + Ch + D) + R(8Ah^3 + 4Bh^2 + 2Ch + D) + S(27Ah^3 + 9Bh^2 + 3C + D)$

$= P \cdot D + Q \cdot Ah^3 + Q \cdot Bh^2 + Q \cdot Ch + Q \cdot D + R \cdot 8Ah^3 + R \cdot 4Bh^2 + R \cdot 2Ch + RD + S \cdot 27Ah^3 + S \cdot 9Bh^2 + S \cdot 3C + SD$

$= Ah^3(Q + 8R + 27S) + Bh^2(Q + 4R + 9S) + Ch(Q + 2R + 3S) + D(P + Q + R + S)$

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

$\dfrac{81}{4} h = Q + 8R + 27S$ … (vii)
$9h = Q + 4R + 9S$ … (viii)
$\dfrac{9}{2}h = Q + 2R + 3S$ … (ix)
$3h = P + Q + R + S$ … (x)

eliminasi (vii) dan (viii), diperoleh

$\begin{array}{lll} Q + 8R + 27S &= \frac{81}{4}h\\ Q + 4R + 9S &= 9h & -\\ ------- &----\\ 4R + 18S &= \frac{45}{4}h & \ldots \text{(xi)}\end{array}$

eliminasi (viii) dan (ix) diperoleh,

$\begin{array}{lll} Q + 4R + 9S &= 9h\\ Q + 2R + 3S &= \frac{9}{2}h & -\\ ------- &----\\ 2R + 6S &= \frac{9}{2}h & \ldots \text{(xii)}\end{array}$

eliminasi (xi) dan (xii) diperoleh,

$\begin{array}{lll} 2R + 6S &= \frac{9}{2}h &(\times 3)\\ 6R + 24S &= \frac{63}{4} & -\\ ------ &----\\ 6R + 18S &= \frac{54}{4}h\\ 6R + 24S &= \frac{63}{4}h& -\\ ------ &----\\ -6S &= -\frac{9}{4}h\\ S &= \frac{3}{8}h \end{array}$

substitusi nilai S ke persamaan (xii), diperoleh

$\begin{aligned} 2R + 6 \left( \dfrac{3}{8} \right)h &= \dfrac{9}{2}h\\ 2R &= \dfrac{36}{8}h - \dfrac{18}{8}h\\ R &= \dfrac{9}{8}h \end{aligned}$

substitusi nilai R dan S ke persamaan (ix), diperoleh

$\begin{aligned} \dfrac{9}{2}h &= Q + 2 \left( \dfrac{9}{8} \right)h + 3 \left( \dfrac{3}{8} \right)h\\ Q &= \dfrac{36}{8}h- \dfrac{18}{8}h -\dfrac{9}{8}h\\ Q &= \dfrac{9}{8}h \end{aligned}$

substitusi nilai Q, R dan S ke persamaan (x), diperoleh

$\begin{aligned} 3h &= P + \dfrac{9}{8}h + \dfrac{9}{8}h + \dfrac{3}{8}h\\ P &= \dfrac{24}{8}h - \dfrac{9}{8}h - \dfrac{9}{8}h - \dfrac{3}{8}h\\ P &= \dfrac{3}{8}h \end{aligned}$

Karena,

$\displaystyle \int_{x_0}^{x_3} f(x)~dx = P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2) + S \cdot f(x_3)$

$= \dfrac{3}{8}h f(x_0) + \dfrac{9}{8}h f(x_1) + \dfrac{9}{8}h f(x_2) + \dfrac{3}{8}h f(x_3)$

$S_1(f) = \dfrac{3}{8}h \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3) \right]$

$= \dfrac{3}{8}h \left[(f(x_0) + f(x_3))+ 3f(x_1) + 3f(x_2) \right]$

Untuk 2 pias (6 partisi), rumus Aturan Simpson 3 per 8 diperoleh,

$S2(f) = \dfrac{3}{8}h \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3) \right] + \dfrac{3}{8}h \left[ f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + f(x_6) \right]$

$= \dfrac{3}{8}h \left[ (f(x_0) + f(x_6)) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) \right]$

Untuk 3 pias (9 partisi), rumus Aturan Simpson 3 per 8 diperoleh,

$S_2(f) = \dfrac{3}{8}h \left[ (f(x_0) + f(x_9)) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3) \right]$

$+ \dfrac{3}{8}h \left[ f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + f(x_6) \right] + \dfrac{3}{8}h \left[ f(x_6) + 3f(x_7) + 3f(x_8) \right]$

$= \dfrac{3}{8}h [ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + 2f(x_6) + 3f(x_7) + 3f(x_8) + f(x9)]$

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 3 per 8 dengan n partisi (n := kelipatan 3) banyak pias adalah :

$S_n(f) = \dfrac{3}{8}h [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)] + \dfrac{3}{8}h [f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + f(x_6)] + \ldots + \dfrac{3}{8}h [f(x_{n-6}) + 3f(x_{n-5}) + 3f(x_{n-4}) + f(x_{n-3})] + \dfrac{3}{8}h [f(x_{n-3}) + 3f(x_{n-2}) + 3f(x_{n-1}) + f(x_n)]$

$= \dfrac{3}{8}h [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3) + f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + f(x_6) + \ldots + f(x_{n-6}) + 3f(x_{n-5}) + 3f(x_{n-4}) + f(x_{n-3}) + f(x_{n-3}) + 3f(x_{n-2}) + 3f(x_{n-1}) + f(x_n)]$

$= \dfrac{3}{8}h [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + 2f(x_6) + \ldots + 2f(x_{n-6}) + 3f(x_{n-5}) + 3f(x_{n-4}) + 3f(x_{n-3}) + 3f(x_{n-2}) + 3f(x_{n-1}) + f(x_n)]$

$= \displaystyle \dfrac{1}{3}h [(f(x_0) + f(x_n)) + 3 \sum_{i=1}^{n-2} f(x_i) 2\sum_{i=3}^{n-3} f(x_i)]$

INGAT : Aturan Simpson 3 per 8 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 3

4 comments on “Aturan Simpson 3 per 8 (Simpson Rule)”

ulfa destyarina

Desember 26, 2014 @ 11:41 pm

kog persamaan xi beda-beda,, mgkn agak keliru sedikit,,

Balas
- aimprof08
  
  Januari 4, 2015 @ 8:09 am
  
  beda-beda gmn maksudnya ?
  
  Balas
kaharudin

Desember 20, 2016 @ 10:04 am

Jurnal untuk bahan bacaan ada?

Balas
- aim
  
  Januari 20, 2017 @ 11:19 am
  
  Kalau jurnal, sudah banyak web yang menyediakan mas dan jurnal terlalu luas makanya saya tidak upload koleksi jurnal yang ada di laptop. Anda tinggal cari sesuai kebutuhan saja
  
  Balas

Tinggalkan Balasan ke ulfa destyarina Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	jodi ariwiyansyah pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Ming Ari pada Teknik Integral : Integral Fun…
	Taufiqur pada Koleksi Buku
	Subhan pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Domain Dan Kodomain pada Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Kshaarii12 pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naysilla Ramadhani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Fauzan Alfikri pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Dwi Lestari pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Amaludin pada Soal dan Pembahasan Tes Kemamp…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

4 comments on “Aturan Simpson 3 per 8 (Simpson Rule)”

Tinggalkan Balasan ke ulfa destyarina Batalkan balasan