Fungsi Balikan (Invers)

Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b B, maka invers dari b dinotasikan oleh f^-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.

Definisi :

Jika f : A B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B A sedemikian sehingga f o g = I_A dan g o f = I_B

Sebagai ilustrasi, misalkan kita punya A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8} dan fungsi f : A B didefinisikan dengan f(x) = x + 1, x A. Maka diperoleh f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 6 dan f(7) = 8. Jadi, f^-1(2) = 1, f^-1(4) = 3, f^-1(6) = 5 dan f^-1(8) = 7.

Contoh 1 :

Carilah f^-1(x) jika f : A B dengan f(x) = 2x + 4

Penyelesaian :

misal : f(x) = y

y = 2x + 4

y – 4 = 2x

1/2 y – 2 = x

1/2 y – 2 = f^-1(y)

Jadi, f^-1(x) = 1/2 x – 2

Apakah setiap fungsi memiliki balikan? Tidak. Pertanyaan selanjutnya, bagaimana cara kita mengetahui suatu fungsi memiliki invers? Permasalahan yang ini terjawab oleh teorema dibawah ini.

Teorema :

Fungsi f : A $latex \rightarrow$ B dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika satu-satu dan pada.

Bukti :

1. Akan dibuktikan dari kiri ke kanan
   
   1. Diasumsikan fungsi f : A B dapat dibalik, maka terdapat fungsi g : B A dengan f o g = I_A dan g o f = I_B. Jika a₁, a₂ A dengan f(a₁) = f(a₂) maka g(f(a₁)) = g(f(a₂)) atau (f o g)(a₁) = (f o g)(a₂) berakibat a₁ = a₂. Berdasarkan Definisi, maka f adalah Fungsi Satu-Satu.
      
   2. Ambil b B, maka g(b) A. Karena g o f = I_B dikatakan b = I_B(b) = (g o f)(b) = f(g(b)). Menurut Definisi, maka f merupakan Fungsi Pada.
      
2. Akan dibuktikan dari arah sebaliknyanya.
   

   Dari teorema dikatakan f : A B adalah Fungsi Bijektif yaitu fungsi yang Satu-Satu dan Pada. Karena f Fungsi Pada, maka b B a A dengan f(a) = b dan karena f juga merupakan fungsi Satu-Satu, berakibat b B hanya a A. Karena B mempunyai pasangan tepat satu di A, maka dikatakan g : B A merupakan fungsi dan fungsi g merupakan invers dari fungsi f.
   

Contoh 2 :

Misalkan fungsi f dan g diberikan oleh diagram berikut :

Apakah fungsi f dan g memiliki invers?

Penyelesaian :

Kasus fungsi f :

karena f bukan fungsi satu-satu (injektif) sehingga menurut Teorema diatas, fungsi f tidak memiliki invers. Kenapa bukan fungsi satu-satu? karena “b” dan “d” dipetakan ke kodomain yang sama.

Kasus fungsi g :

daftarkan anggota pemetaan yang terjadi pada fungsi g.

g(a) = 2, g(b) = 3, g(c) = 4, g(d) = 1 dan g(e) = 5

Karena setiap anggota domain dipetakan ke kodomain yang berbeda (fungsi satu-satu) dan seiap kodomain memiliki prapeta di domain (fungsi pada), sehingga menurut Teorema diatas fungsi g memiliki invers.

Dengan inversnya adalah

g^-1(2) = a, g^-1(3) = b, g^-1(4) = c, g^-1(1) = d, dan g^-1(5) = e

Secara sederhana, jika kita diberikan diagram pemetaan, untuk mengetahui apakah fungsi tersebut memiliki invers atau tidak, kita bisa mengecek dengan melihat jumlah anggota domain = jumlah anggota kodomain dan tidak ada anggota domain atau kodomain yang tidak memiliki pasangan.

Contoh 3 :

Apakah fungsi f : yang didefinisikan dengan f(x) = x³, x punya invers?

Penyelesaian :

Apakah fungsi pada (surjektif)?

Iya, f merupakan fungsi surjektif (baca DISINI)

Apakah fungsi satu-satu (injektif)?

ambil x₁, x₂ sebarang dan f(x₁) = f(x₂) berakibat

f(x₁) = f(x₂)

(x₁)³ = (x₂)³

x₁ = x₂

Jadi, f adalah fungsi satu-satu

Karena f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada, sehingga menurut Teorema, fungsi f memiliki invers.

Sumber :

Grimaldi, R.P., 2004, Discrete And Combinatorial Mathematics, 5th Edition, Addison Weslesy, USA.