Fungsi Balikan (Invers)


Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b \epsilon B, maka invers dari b dinotasikan oleh f-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.

Definisi :

Jika f : A \rightarrow B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B \rightarrow A sedemikian sehingga f o g = IA dan g o f = IB


Sebagai ilustrasi, misalkan kita punya A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8} dan fungsi f : A \rightarrow B didefinisikan dengan f(x) = x + 1, \forall x \epsilon A. Maka diperoleh f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 6 dan f(7) = 8. Jadi, f-1(2) = 1, f-1(4) = 3, f-1(6) = 5 dan f-1(8) = 7.

Contoh 1 :

Carilah f-1(x) jika f : A \rightarrow B dengan f(x) = 2x + 4

Penyelesaian :

misal : f(x) = y

y = 2x + 4

y – 4 = 2x

1/2 y – 2 = x

1/2 y – 2 = f-1(y)

Jadi, f-1(x) = 1/2 x – 2

Apakah setiap fungsi memiliki balikan? Tidak. Pertanyaan selanjutnya, bagaimana cara kita mengetahui suatu fungsi memiliki invers? Permasalahan yang ini terjawab oleh teorema dibawah ini.

Teorema :

Fungsi f : A $latex \rightarrow$ B dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika satu-satu dan pada.

Bukti :

  1. Akan dibuktikan dari kiri ke kanan
    1. Diasumsikan fungsi f : A \rightarrow B dapat dibalik, maka terdapat fungsi g : B \rightarrow A dengan f o g = IA dan g o f = IB. Jika a1, a2 \epsilon A dengan f(a1) = f(a2) maka g(f(a1)) = g(f(a2)) atau (f o g)(a1) = (f o g)(a2) berakibat a1 = a2. Berdasarkan Definisi, maka f adalah Fungsi Satu-Satu.
    2. Ambil b \epsilon B, maka g(b) \epsilon A. Karena g o f = IB dikatakan b = IB(b) = (g o f)(b) = f(g(b)). Menurut Definisi, maka f merupakan Fungsi Pada.
  2. Akan dibuktikan dari arah sebaliknyanya.

    Dari teorema dikatakan f : A \rightarrow B adalah Fungsi Bijektif yaitu fungsi yang Satu-Satu dan Pada. Karena f Fungsi Pada, maka \forall b \epsilon B \exists a \epsilon A dengan f(a) = b dan karena f juga merupakan fungsi Satu-Satu, berakibat \forall b \epsilon B hanya \exists ! a \epsilon A. Karena \forall \quad \epsilon B mempunyai pasangan tepat satu di A, maka dikatakan g : B \rightarrow A merupakan fungsi dan fungsi g merupakan invers dari fungsi f. \blacksquare

Contoh 2 :

Misalkan fungsi f dan g diberikan oleh diagram berikut :

Photobucket

Apakah fungsi f dan g memiliki invers?

Penyelesaian :

Kasus fungsi f :

karena f bukan fungsi satu-satu (injektif) sehingga menurut Teorema diatas, fungsi f tidak memiliki invers. Kenapa bukan fungsi satu-satu? karena “b” dan “d” dipetakan ke kodomain yang sama.

Kasus fungsi g :

daftarkan anggota pemetaan yang terjadi pada fungsi g.

g(a) = 2, g(b) = 3, g(c) = 4, g(d) = 1 dan g(e) = 5

Karena setiap anggota domain dipetakan ke kodomain yang berbeda (fungsi satu-satu) dan seiap kodomain memiliki prapeta di domain (fungsi pada), sehingga menurut Teorema diatas fungsi g memiliki invers.

Dengan inversnya adalah

g-1(2) = a, g-1(3) = b, g-1(4) = c, g-1(1) = d, dan g-1(5) = e

Secara sederhana, jika kita diberikan diagram pemetaan, untuk mengetahui apakah fungsi tersebut memiliki invers atau tidak, kita bisa mengecek dengan melihat jumlah anggota domain = jumlah anggota kodomain dan tidak ada anggota domain atau kodomain yang tidak memiliki pasangan.

Contoh 3 :

Apakah fungsi f : \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} yang didefinisikan dengan f(x) = x3, \forall x \epsilon \quad \mathbb{R} punya invers?

Penyelesaian :

Apakah fungsi pada (surjektif)?

Iya, f merupakan fungsi surjektif (baca DISINI)

Apakah fungsi satu-satu (injektif)?

ambil x1, x2 \epsilon \quad \mathbb{R} sebarang dan f(x1) = f(x2) berakibat

f(x1) = f(x2)

(x1)3 = (x2)3

x1 = x2

Jadi, f adalah fungsi satu-satu

Karena f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada, sehingga menurut Teorema, fungsi f memiliki invers.

Sumber :

Grimaldi, R.P., 2004, Discrete And Combinatorial Mathematics, 5th Edition, Addison Weslesy, USA.

2 comments on “Fungsi Balikan (Invers)

  1. ralat 😛

    Jawaban soal di “contoh 1” seharusnya f-1(x) = ½x – 2. (4-nya lupa dibagi dgn 2)
    Juga di penyelesaian “contoh 2” pd kata “karena “b” dan “e” dipetakan ke kodomain yang sama.” seharusnya -> karena “b” dan “d”

    hehe..
    tapi thanks buat ilmunya bro.. 😉
    *menghilang*

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s