Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B dan misalkan b B, maka invers dari b dinotasikan oleh f-1(b), yang terdiri dari anggota-anggota A yang dipetakan pada b, yaitu anggota-anggota dalam A yang memiliki b sebagai hasil pemetaannya.
Definisi :
Jika f : A B, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) jika terdapat fungsi g : B
A sedemikian sehingga f o g = IA dan g o f = IB
Sebagai ilustrasi, misalkan kita punya A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8} dan fungsi f : A B didefinisikan dengan f(x) = x + 1,
x
A. Maka diperoleh f(1) = 2, f(3) = 4, f(5) = 6 dan f(7) = 8. Jadi, f-1(2) = 1, f-1(4) = 3, f-1(6) = 5 dan f-1(8) = 7.
Contoh 1 :
Carilah f-1(x) jika f : A B dengan f(x) = 2x + 4
Penyelesaian :
misal : f(x) = y
y = 2x + 4
y – 4 = 2x
1/2 y – 2 = x
1/2 y – 2 = f-1(y)
Jadi, f-1(x) = 1/2 x – 2
Apakah setiap fungsi memiliki balikan? Tidak. Pertanyaan selanjutnya, bagaimana cara kita mengetahui suatu fungsi memiliki invers? Permasalahan yang ini terjawab oleh teorema dibawah ini.
Teorema :
Fungsi f : A $latex \rightarrow$ B dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika satu-satu dan pada.
Bukti :
-
Akan dibuktikan dari kiri ke kanan
-
Diasumsikan fungsi f : A
B dapat dibalik, maka terdapat fungsi g : B
A dengan f o g = IA dan g o f = IB. Jika a1, a2
A dengan f(a1) = f(a2) maka g(f(a1)) = g(f(a2)) atau (f o g)(a1) = (f o g)(a2) berakibat a1 = a2. Berdasarkan Definisi, maka f adalah Fungsi Satu-Satu.
-
Ambil b
B, maka g(b)
A. Karena g o f = IB dikatakan b = IB(b) = (g o f)(b) = f(g(b)). Menurut Definisi, maka f merupakan Fungsi Pada.
-
-
Akan dibuktikan dari arah sebaliknyanya.
Dari teorema dikatakan f : A
B adalah Fungsi Bijektif yaitu fungsi yang Satu-Satu dan Pada. Karena f Fungsi Pada, maka
b
B
a
A dengan f(a) = b dan karena f juga merupakan fungsi Satu-Satu, berakibat
b
B hanya
a
A. Karena
B mempunyai pasangan tepat satu di A, maka dikatakan g : B
A merupakan fungsi dan fungsi g merupakan invers dari fungsi f.
Contoh 2 :
Misalkan fungsi f dan g diberikan oleh diagram berikut :
Apakah fungsi f dan g memiliki invers?
Penyelesaian :
Kasus fungsi f :
karena f bukan fungsi satu-satu (injektif) sehingga menurut Teorema diatas, fungsi f tidak memiliki invers. Kenapa bukan fungsi satu-satu? karena “b” dan “d” dipetakan ke kodomain yang sama.
Kasus fungsi g :
daftarkan anggota pemetaan yang terjadi pada fungsi g.
g(a) = 2, g(b) = 3, g(c) = 4, g(d) = 1 dan g(e) = 5
Karena setiap anggota domain dipetakan ke kodomain yang berbeda (fungsi satu-satu) dan seiap kodomain memiliki prapeta di domain (fungsi pada), sehingga menurut Teorema diatas fungsi g memiliki invers.
Dengan inversnya adalah
g-1(2) = a, g-1(3) = b, g-1(4) = c, g-1(1) = d, dan g-1(5) = e
Secara sederhana, jika kita diberikan diagram pemetaan, untuk mengetahui apakah fungsi tersebut memiliki invers atau tidak, kita bisa mengecek dengan melihat jumlah anggota domain = jumlah anggota kodomain dan tidak ada anggota domain atau kodomain yang tidak memiliki pasangan.
Contoh 3 :
Apakah fungsi f : yang didefinisikan dengan f(x) = x3,
x
punya invers?
Penyelesaian :
Apakah fungsi pada (surjektif)?
Iya, f merupakan fungsi surjektif (baca DISINI)
Apakah fungsi satu-satu (injektif)?
ambil x1, x2 sebarang dan f(x1) = f(x2) berakibat
f(x1) = f(x2)
(x1)3 = (x2)3
x1 = x2
Jadi, f adalah fungsi satu-satu
Karena f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada, sehingga menurut Teorema, fungsi f memiliki invers.
Sumber :
Grimaldi, R.P., 2004, Discrete And Combinatorial Mathematics, 5th Edition, Addison Weslesy, USA.
ralat 😛
Jawaban soal di “contoh 1” seharusnya f-1(x) = ½x – 2. (4-nya lupa dibagi dgn 2)
Juga di penyelesaian “contoh 2” pd kata “karena “b” dan “e” dipetakan ke kodomain yang sama.” seharusnya -> karena “b” dan “d”
hehe..
tapi thanks buat ilmunya bro.. 😉
*menghilang*
terimakasih atas koreksinya 🙂