Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule)


Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule) hampir mirip dengan Aturan Trapezoida tapi Aturan Titik Tengah menggunakan pendekatan Luas Persegi Panjang. Kurva yang dipartisi sedemikian sehingga setiap partisi yang berbentuk kurva lengkung didekatkan dengan suatu garis singgung, dimana garis singgung yang digunakan melalui titik tengah dari lengkungan kurva pada setiap partisi. Untuk menghitung luas dibawah kurva didekatkan dengan Luas Persegi Panjang.

Photobucket

Jika kita memiliki sebuah partisi kurva seperti diatas dengan titik koordinat awal x0 = a dan titik koordinat ujung x1 = b = a + h maka koordinat titik tengahnya xm1 = a + \frac{1}{2}h dengan h = b – a. Maka luas dibawah kurvanya

\int_a^b f(x) \approx h.f(a + \frac{1}{2}h) = M1(f)

Jika kita mempartisi kurva menjadi dua partisi yaitu x0 = a, x1 = a + h dan x1 = a + h, x2 = b = a + 2h. Maka titik tengah dari masing-masing partisi adalah xm1 = a + \frac{1}{2}h dan xm2 = a + \frac{3}{2}h dengan h = \frac{b-a}{2}. Sehingga luas dibawah kurvanya diperoleh

M2(f) = hf(a + \frac{1}{2}h) + hf(a + \frac{3}{2}h)

= h[f(a + \frac{1}{2}h) + f(a + \frac{3}{2}h)]

Sehingga Rumus Aturan Titik Tengah untuk n partisi apabila ditulis secara umum, diperoleh :

Mn(f) = h.f(a + \frac{1}{2}h) + h.f(a + \frac{3}{2}h) + … + hf(a + (n – \frac{1}{2})h)

= h \sum_{i=1}^n f(a + (n – \frac{1}{2})h)

dengan h = \frac{b-a}{n}

Contoh :

Hitung hasil \int_0^2 (2 + cos[2 \sqrt{x}]) dx menggunakan Aturan Titik Tengah dengan 4 dan 8 partisi.

Penyelesaian :

Untuk 4 partisi :

h = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}

M4(f) = h[f(a + \frac{1}{2}h) + f(a + \frac{3}{2}h) + f(a + \frac{5}{2}h) + f(a + \frac{7}{2}h)]

= \frac{1}{2} [f(0 + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}) + f(0 + \frac{3}{2}.\frac{1}{2}) + f(0 + \frac{3}{2}.\frac{1}{2}) + f(0 + \frac{3}{2}.\frac{1}{2})]

= \frac{1}{2} [f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) + f(\frac{5}{4}) + f(\frac{7}{4})]

= \frac{1}{2} [2 + cos[2 \sqrt{1/4}] + 2 + cos[2 \sqrt{3/4}] + 2 + cos[2 \sqrt{5/4}] + 2 + cos[2 \sqrt{7/4}]]

= \frac{1}{2} [2 + cos[\sqrt{1}] + 2 + cos[\sqrt{3}] + 2 + cos[\sqrt{5}] + 2 + cos[\sqrt{7}]]

= \frac{1}{2} [8 + 0.54030 – 0.16055 – 0.61727 -0.87956]

= 3.44146

Untuk 8 partisi :

h = \frac{2-0}{8} = \frac{1}{4}

M8(f) = h[f(a + \frac{1}{2}h) + f(a + \frac{3}{2}h) + f(a + \frac{5}{2}h) + f(a + \frac{7}{2}h) + f(a + \frac{9}{2}h) + f(a + \frac{11}{2}h) + f(a + \frac{13}{2}h) + f(a + \frac{15}{2}h)]

= \frac{1}{4} [f(0 + \frac{1}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{3}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{5}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{7}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{9}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{11}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{13}{2}.\frac{1}{4}) + f(0 + \frac{15}{2}.\frac{1}{4})]

= \frac{1}{4} [f(\frac{1}{8}) + f(\frac{3}{8}) + f(\frac{5}{8}) + f(\frac{7}{8}) + f(\frac{9}{8}) + f(\frac{11}{8}) + f(\frac{13}{8}) + f(\frac{15}{8})]

= \frac{1}{4} [2 + cos[2 \sqrt{1/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{3/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{5/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{7/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{9/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{11/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{13/8}] + 2 + cos[2 \sqrt{15/8}]]

= \frac{1}{4} [16 + cos[\sqrt{1/2}] + cos[\sqrt{3/2}] + cos[\sqrt{5/2}] + cos[\sqrt{7/2}] + cos[\sqrt{9/2}] + cos[\sqrt{11/2}] + cos[\sqrt{13/2}] + cos[\sqrt{15/2}]]

= \frac{1}{4} [16 + 0.76024 + 0.33918 – 0.01034 – 0.29555 – 0.52313 – 0.69929 – 0.82978 – 0.91989]

= 3.45536

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s