Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule)


\rightAturan Titik Tengah (Midpoint Rule) hampir mirip dengan Aturan Trapezoida tapi Aturan Titik Tengah menggunakan pendekatan Luas Persegi Panjang. Kurva yang dipartisi sedemikian sehingga setiap partisi yang berbentuk kurva lengkung didekatkan dengan suatu garis singgung, dimana garis singgung yang digunakan melalui titik tengah dari lengkungan kurva pada setiap partisi. Untuk menghitung luas dibawah kurva didekatkan dengan Luas Persegi Panjang.

Photobucket

Jika kita memiliki sebuah partisi kurva seperti diatas dengan titik koordinat awal x_0 = a dan titik koordinat ujung x_1 = b = a + h maka koordinat titik tengahnya x_{m1} = a + \dfrac{1}{2}h dengan h = b-a. Maka luas dibawah kurvanya

\displaystyle \int_a^b f(x) \approx h \cdot f \left( a + \dfrac{1}{2}h \right) = M_1(f)

Jika kita mempartisi kurva menjadi dua partisi yaitu x_0 = a, x_1 = a + h, dan x_2 = b = a + 2h. Maka titik tengah dari masing-masing partisi adalah x_{m1} = a + \dfrac{1}{2}h dan x_{m2} = a + \dfrac{3}{2}h dengan h = \dfrac{b-a}{2}. Sehingga luas dibawah kurvanya diperoleh

M_2(f) = h \cdot f \left(a + \dfrac{1}{2}h \right) + h \cdot f \left(a + \dfrac{3}{2}h \right)

= h \left[f \left( a + \dfrac{1}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{3}{2}h \right) \right]

Sehingga Rumus Aturan Titik Tengah untuk n partisi apabila ditulis secara umum, diperoleh :

M_n(f) = h \cdot f \left(a + \dfrac{1}{2}h \right) + h \cdot f \left(a + \dfrac{3}{2}h \right) + \ldots + h \cdot f \left( a + \left(n- \dfrac{1}{2} \right)h \right)

= h \displaystyle \sum_{i=1}^n f \left(a + \left(n- \dfrac{1}{2} \right) \right)

dengan h = \dfrac{b-a}{n}

Contoh :

Hitung hasil \displaystyle \int_0^2 (2 + \cos[2\sqrt{x}]) ~dx menggunakan Aturan Titik Tengah dengan 4 dan 8 partisi.

Penyelesaian :

Untuk 4 partisi :

h = \dfrac{2-0}{4} = \dfrac{1}{2}

M_4(f) = h \left[ f \left( a + \dfrac{1}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{3}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{5}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{7}{2}h \right) \right]

= \dfrac{1}{2} \left[ f \left(0 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) + f \left(0 + \dfrac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) + f \left(0 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) + f \left(0 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \right) \right]

= \dfrac{1}{2} \left[ f \left( \dfrac{1}{4} \right) + f \left( \dfrac{3}{4} \right) + f \left(\dfrac{5}{4} \right) + f \left( \dfrac{7}{4} \right) \right]

= \dfrac{1}{2} \left[2 + \cos \left[2 \sqrt{1/4} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{3/4} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{5/4} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{7/4} \right] \right]

= \dfrac{1}{2} \left[2 + \cos \sqrt{1} + 2 + \cos \sqrt{3} + 2 + \cos \sqrt{5} + 2 + \cos \sqrt{7} \right]

= \dfrac{1}{2} \left[8 + 0.54030 -0.16055 -0.61727 -0.87956 \right]

= 3.44146

Untuk 8 partisi :

h =  \dfrac{2-0}{8} = \dfrac{1}{4}

M_8(f) = h \left[f \left(a + \dfrac{1}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{3}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{5}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{7}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{9}{2}h \right) \right.

\left. + f \left(a + \dfrac{11}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{13}{2}h \right) + f \left(a + \dfrac{15}{2}h \right) \right]

= \dfrac{1}{4} \left[ f \left(0 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) \right.

\left. + f \left(0 + \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{11}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) + f \left(0 + \dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \right) \right]

= \dfrac{1}{4} \left[ f \left( \dfrac{1}{8} \right) + f \left( \dfrac{3}{8} \right) + f \left( \dfrac{5}{8} \right) + f \left( \dfrac{7}{8} \right) + f \left( \dfrac{9}{8} \right) + f \left( \dfrac{11}{8} \right) \right.

\left. + f \left( \dfrac{13}{8} \right) + f \left( \dfrac{15}{8} \right) \right]

= \dfrac{1}{4} \left[2 + \cos \left[2 \sqrt{1/8} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{3/8} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{5/8} \right] \right.

\left. + 2 + \cos \left[2 \sqrt{7/8} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{9/8} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{11/8} \right] \right.

\left. + 2 + \cos \left[2 \sqrt{13/8} \right] + 2 + \cos \left[2 \sqrt{15/8} \right] \right]

= \dfrac{1}{4} \left[16 + \cos[\sqrt{1/2}] + \cos[\sqrt{3/2}] + \cos[\sqrt{5/2}] + \cos[\sqrt{7/2}] \right.

\left. + \cos[\sqrt{9/2}] + \cos[\sqrt{11/2}] + \cos[\sqrt{13/2}] + \cos[\sqrt{15/2}] \right]

= \dfrac{1}{4} \left[16 + 0.76024 + 0.33918- 0.01034- 0.29555- 0.52313- 0.69929 \right.

\left. -0.82978- 0.91989 \right]

= 3.45536

One comment on “Aturan Titik Tengah (Midpoint Rule)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s