Pasangan Terurut (Ordered Pairs)

Pasangan Terurut (Ordered Pairs) adalah pengaitan dua buah anggota himpunan dengan memperhatikan urutan. Beda halnya pada himpunan, pasangan dua anggota pada himpunan tidak memperhatikan urutan, misal A = (1, 2) dan B = (2, 1), maka A = B, tapi pada pasangan terurut tidak berlaku. Misalkan pasangan terurut terdiri atas dua buah elemen yaitu a dan b dengan notasi (a, b), ini artinya bahwa pasangan terurut dua anggota suatu himpunan dengan urutan pertama a dan urutan kedua b. Oleh karena itu, jika a b maka (a, b) (b, a). Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Definisi 1.

Misalkan A dan B himpunan sebarang. Perkalian himpunan A dan B yang dinotasikan A x B adalah himpunan semua pasangan terurut yang berbentuk (a, b) dengan a A dan b B,

A x B = {(a, b)|a A dan b B}

Contoh 2.

Misal diberikan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {x | x bilangan prima lebih kecil dari 10}. Tentukan A x B, B x A dan periksa apakah A x B = B x A ?

Penyelesaian.

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7}

A x B = {(1, 2),(1, 3),(1, 5),(1, 7), (2, 2),(2, 3),(2, 5),(2, 7),(3, 2),(3, 3),(3, 5),(3, 7),(4, 2),(4, 3),(4, 5),(4, 7)}

B x A = {(2, 1),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 1),(3, 2),(3, 3),(3, 4),(5, 1),(5, 2),(5, 3),(5, 4),(7, 1),(7, 2),(7, 3),(7, 4)}

Perhatikan hasil diatas, diperoleh A x B B x A.

Sifat pada pasangan terurut :

1. Jika A memiliki n unsur dan B memiliki m unsur maka A x B memiliki n.m unsur.
   
2. Jika A atau B himpunan kosong maka A x B juga merupakan himpunan kosong
   
3. Jika A atau B himpunan infinit maka A x B juga merupakan himpunan infinit.
   

Perlu diingat bahwa Pasangan Terurut dan Fungsi itu berbeda. Dalam pasangan terurut, anggota urutan pertama (pada Pasangan Terurut) boleh mimiliki pasangan pada anggota urutan kedua lebih dari satu, tapi pada fungsi anggota urutan pertama (domain fungsi) hanya boleh memiliki satu pasangan pada anggota urutan kedua (kodomain fungsi). Secara sederhana, setiap fungsi pasti merupakan pasangan terurut tapi tidak berlaku sebaliknya.

Sumber :

Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.