Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Cara untuk menyatakan hubungan antara anggota 2 himpunan adalah dengan himpunan Pasangan Terurut. Dimana himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian (Cartesian Product). Relasi secara matematis didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.
Misal A dan B adalah dua himpunan sebarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sebarang subset A x B, termasuk himpunan kosong yaitu R A x B. Relasi ini dinyatakan sebagai R = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|aRb}
Contoh 2.
-
Misal A = {2, 4, 8, 9, 15} dan B = {2, 3, 4}. Jika R adalah relasi dari A ke B yang didefinisikan sebagai aRb := jika a habis dibagi b, maka :
R = {(2, 2),(4, 2),(8, 2),(9, 3),(15, 3),(4, 4),(8, 4)}
-
Misal P = {3, 6, 9, 12} dan Q = {2, 3, 5, 7, 11} serta R adalah relasi pada P x Q dengan aRb := a < b maka :
R = {(3, 5),(3, 7),(,3, 11),(6, 7),(6, 11),(9, 11)}
-
Misalkan S = {2, 3, 5} dan R adalah relasi pada S dengan aRb menyatakan a + b = 12
Karena jumlah dua anggota S paling besar 10 maka R =
-
Misal R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} dengan aRb := a adalah factor prima dari b, maka
R = {(2, 2),(2, 4),(2, 8), (3, 3), (3, 9)}
Definisi 3.
Misalkan R adalah relasi pada A, maka
-
R dikatakan reflektif jika
a
A berlaku (a, a)
R
-
R dikatakan simetri jika
a, b
A, (a, b)
R maka (b, a)
R
-
R dikatakan transitif jika
a, b, c
A, (a, b)
R dan (b, c)
R maka (a, c)
R
Contoh 4.
Misalkan A = {1, 2, 3}, maka :
Bersifat reflektif
R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}
R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2),(3, 3)}
R = {(1, 1),(2, 2),(3, 2),(3, 3)}
Bukan bersifat reflektif
R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2)} [tidak ada (3, 3)]
R = {(1, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 2)]
Bersifat simetri
R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}
R = {(1, 2),(2, 1),(2, 3),(3, 2)}
R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 3)}
Bukan bersifat simetri
R = {(1, 1),(2, 2),(2, 3)} [tidak ada (3, 2)]
R = {(1, 2),(2, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 3)]
Bersifat transitif
R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}
R = {(1, 2),(2, 1),(1, 1),(2, 2),(2, 3),(1, 3)}
R = {(1, 2),(2, 3),(1, 3),(3, 2),(3, 3)}
Bukan bersifat transitif
R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2)} [tidak ada (1, 1)]
R = {(2, 1),(2, 3),(1, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]
R = {(1, 3),(2, 3),(3, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]
Contoh 5.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Didefinisikan relasi pada A sebagai berikut
-
R1 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
-
R2 = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
-
R3 = {(2, 2),(2, 3),(4, 4),(3, 5),(3, 2),(5, 3),(5, 5)}
-
R4 = {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(3, 2),(3, 3),(2, 4),(5, 3),(5, 4)}
-
R5 = {(1, 1),(2, 2),(5, 5),(2, 3),(3, 4),(4, 4),(2, 4),(3, 2),(4, 2),(4, 3),(3, 3)}
-
R6 = {(2, 3),(3, 2),(4, 4),(5, 5)}
Selidiki setiap relasi diatas, mana yang termasuk relasi reflektif, simetri atau transitifi? Berikan alasan !
Jawab :
-
R1 adalah reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5
A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5)
R
R1 tidak bersifat simetri karena (1, 2)
R tapi (2, 1)
R dan (1, 3)
R tapi (3, 1)
R
R1 juga bersifat reflektif karena sesuai dengan definisi
-
R2 bersifat refrektif, simetri dan transitif
-
R3 tidak bersifat reflektif karena 1 dan 3
A tapi (1, 1) dan (3, 3)
R
R3 bersifat simetri
R3 tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 5)
R tapi (2, 5)
R
-
R4 tidak bersifat reflektif karena 1, 2, 4, 5
A tapi (1, 1),(2, 2),(4, 4) dan (5, 5)
R
R4 tidak bersifat simetri karena (2, 4) dan (3, 4)
R tapi (4, 2) dan (4, 3)
R
R4 tidak bersifat transitif karena (5, 3) dan (3, 2)
R tapi (5, 2)
R
-
R5 bersifat reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5
A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5)
R
R5 bersifat simetri karena sesuai dengan definisi
R5 bersifat traansitif karena sesuai dengan definisi
-
R6 tidak bersifat reflektif karena 1, 2 dan 3
A tapi (1, 1),(2, 2) dan (3, 3)
R
R6 bersifat simetri karena sesuai dengan definisi
tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 2)
R tapi (2, 2)
R
Sumber :
Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.
Anonim, 2002, Logika.
Reblogged this on liineliendt #88.