Relasi


Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Cara untuk menyatakan hubungan antara anggota 2 himpunan adalah dengan himpunan Pasangan Terurut. Dimana himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian (Cartesian Product). Relasi secara matematis didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.

Misal A dan B adalah dua himpunan sebarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sebarang subset A x B, termasuk himpunan kosong yaitu R \subseteq A x B. Relasi ini dinyatakan sebagai R = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|aRb}

Contoh 2.

  1. Misal A = {2, 4, 8, 9, 15} dan B = {2, 3, 4}. Jika R adalah relasi dari A ke B yang didefinisikan sebagai aRb := jika a habis dibagi b, maka :

    R = {(2, 2),(4, 2),(8, 2),(9, 3),(15, 3),(4, 4),(8, 4)}

  2. Misal P = {3, 6, 9, 12} dan Q = {2, 3, 5, 7, 11} serta R adalah relasi pada P x Q dengan aRb := a < b maka :

    R = {(3, 5),(3, 7),(,3, 11),(6, 7),(6, 11),(9, 11)}

  3. Misalkan S = {2, 3, 5} dan R adalah relasi pada S dengan aRb menyatakan a + b = 12

    Karena jumlah dua anggota S paling besar 10 maka R = \emptyset

  4. Misal R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} dengan aRb := a adalah factor prima dari b, maka

    R = {(2, 2),(2, 4),(2, 8), (3, 3), (3, 9)}

Definisi 3.

Misalkan R adalah relasi pada A, maka

  1. R dikatakan reflektif jika \forall a \in A berlaku (a, a) \in R
  2. R dikatakan simetri jika \forall a, b \in A, (a, b) \in R maka (b, a) \in R
  3. R dikatakan transitif jika \forall a, b, c \in A, (a, b) \in R dan (b, c) \in R maka (a, c) \in R

Contoh 4.

Misalkan A = {1, 2, 3}, maka :

Bersifat reflektif

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat reflektif

R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2)} [tidak ada (3, 3)]

R = {(1, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 2)]

Bersifat simetri

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 3),(3, 2)}

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat simetri

R = {(1, 1),(2, 2),(2, 3)} [tidak ada (3, 2)]

R = {(1, 2),(2, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 3)]

Bersifat transitif

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 2),(2, 1),(1, 1),(2, 2),(2, 3),(1, 3)}

R = {(1, 2),(2, 3),(1, 3),(3, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat transitif

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2)} [tidak ada (1, 1)]

R = {(2, 1),(2, 3),(1, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]

R = {(1, 3),(2, 3),(3, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]

Contoh 5.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Didefinisikan relasi pada A sebagai berikut

  1. R1 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
  2. R2 = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
  3. R3 = {(2, 2),(2, 3),(4, 4),(3, 5),(3, 2),(5, 3),(5, 5)}
  4. R4 = {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(3, 2),(3, 3),(2, 4),(5, 3),(5, 4)}
  5. R5 = {(1, 1),(2, 2),(5, 5),(2, 3),(3, 4),(4, 4),(2, 4),(3, 2),(4, 2),(4, 3),(3, 3)}
  6. R6 = {(2, 3),(3, 2),(4, 4),(5, 5)}

Selidiki setiap relasi diatas, mana yang termasuk relasi reflektif, simetri atau transitifi? Berikan alasan !

Jawab :

  1. R1 adalah reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5 \in A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5) \in R

    R1 tidak bersifat simetri karena (1, 2) \in R tapi (2, 1) \notin R dan (1, 3) \in R tapi (3, 1) \notin R

    R1 juga bersifat reflektif karena sesuai dengan definisi

  2. R2 bersifat refrektif, simetri dan transitif
  3. R3 tidak bersifat reflektif karena 1 dan 3 \in A tapi (1, 1) dan (3, 3) \notin R

    R3 bersifat simetri

    R3 tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 5) \in R tapi (2, 5) \notin R

  4. R4 tidak bersifat reflektif karena 1, 2, 4, 5 \in A tapi (1, 1),(2, 2),(4, 4) dan (5, 5) \notin R

    R4 tidak bersifat simetri karena (2, 4) dan (3, 4) \in R tapi (4, 2) dan (4, 3) \notin R

    R4 tidak bersifat transitif karena (5, 3) dan (3, 2) \in R tapi (5, 2) \notin R

  5. R5 bersifat reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5 \in A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5) \in R

    R5 bersifat simetri karena sesuai dengan definisi

    R5 bersifat traansitif karena sesuai dengan definisi

  6. R6 tidak bersifat reflektif karena 1, 2 dan 3 \in A tapi (1, 1),(2, 2) dan (3, 3) \notin R

    R6 bersifat simetri karena sesuai dengan definisi

    tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 2) \in R tapi (2, 2) \notin R

Sumber :

Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

Anonim, 2002, Logika.

One comment on “Relasi

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s