Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Cara untuk menyatakan hubungan antara anggota 2 himpunan adalah dengan himpunan Pasangan Terurut. Dimana himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian (Cartesian Product). Relasi secara matematis didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.

Misal A dan B adalah dua himpunan sebarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sebarang subset A x B, termasuk himpunan kosong yaitu R A x B. Relasi ini dinyatakan sebagai R = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|aRb}

Contoh 2.

1. Misal A = {2, 4, 8, 9, 15} dan B = {2, 3, 4}. Jika R adalah relasi dari A ke B yang didefinisikan sebagai aRb := jika a habis dibagi b, maka :
   

   R = {(2, 2),(4, 2),(8, 2),(9, 3),(15, 3),(4, 4),(8, 4)}
   

2. Misal P = {3, 6, 9, 12} dan Q = {2, 3, 5, 7, 11} serta R adalah relasi pada P x Q dengan aRb := a < b maka :
   

   R = {(3, 5),(3, 7),(,3, 11),(6, 7),(6, 11),(9, 11)}
   

3. Misalkan S = {2, 3, 5} dan R adalah relasi pada S dengan aRb menyatakan a + b = 12
   

   Karena jumlah dua anggota S paling besar 10 maka R =
   

4. Misal R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} dengan aRb := a adalah factor prima dari b, maka
   

   R = {(2, 2),(2, 4),(2, 8), (3, 3), (3, 9)}
   

Definisi 3.

Misalkan R adalah relasi pada A, maka

1. R dikatakan reflektif jika a A berlaku (a, a) R
   
2. R dikatakan simetri jika a, b A, (a, b) R maka (b, a) R
   
3. R dikatakan transitif jika a, b, c A, (a, b) R dan (b, c) R maka (a, c) R
   

Contoh 4.

Misalkan A = {1, 2, 3}, maka :

Bersifat reflektif

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat reflektif

R = {(1, 1),(2, 3),(2, 2)} [tidak ada (3, 3)]

R = {(1, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 2)]

Bersifat simetri

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 3),(3, 2)}

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat simetri

R = {(1, 1),(2, 2),(2, 3)} [tidak ada (3, 2)]

R = {(1, 2),(2, 1),(3, 2),(3, 3)} [tidak ada (2, 3)]

Bersifat transitif

R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}

R = {(1, 2),(2, 1),(1, 1),(2, 2),(2, 3),(1, 3)}

R = {(1, 2),(2, 3),(1, 3),(3, 2),(3, 3)}

Bukan bersifat transitif

R = {(1, 2),(2, 1),(2, 2)} [tidak ada (1, 1)]

R = {(2, 1),(2, 3),(1, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]

R = {(1, 3),(2, 3),(3, 3),(3, 2)} [tidak ada (2, 2)]

Contoh 5.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Didefinisikan relasi pada A sebagai berikut

1. R₁ = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
   
2. R₂ = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)}
   
3. R₃ = {(2, 2),(2, 3),(4, 4),(3, 5),(3, 2),(5, 3),(5, 5)}
   
4. R₄ = {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(3, 2),(3, 3),(2, 4),(5, 3),(5, 4)}
   
5. R₅ = {(1, 1),(2, 2),(5, 5),(2, 3),(3, 4),(4, 4),(2, 4),(3, 2),(4, 2),(4, 3),(3, 3)}
   
6. R₆ = {(2, 3),(3, 2),(4, 4),(5, 5)}
   

Selidiki setiap relasi diatas, mana yang termasuk relasi reflektif, simetri atau transitifi? Berikan alasan !

Jawab :

1. R₁ adalah reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5 A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5) R
   

   R₁ tidak bersifat simetri karena (1, 2) R tapi (2, 1) R dan (1, 3) R tapi (3, 1) R
   

   R₁ juga bersifat reflektif karena sesuai dengan definisi
   

2. R₂ bersifat refrektif, simetri dan transitif
   
3. R₃ tidak bersifat reflektif karena 1 dan 3 A tapi (1, 1) dan (3, 3) R
   

   R₃ bersifat simetri
   

   R₃ tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 5) R tapi (2, 5) R
   

4. R₄ tidak bersifat reflektif karena 1, 2, 4, 5 A tapi (1, 1),(2, 2),(4, 4) dan (5, 5) R
   

   R₄ tidak bersifat simetri karena (2, 4) dan (3, 4) R tapi (4, 2) dan (4, 3) R
   

   R₄ tidak bersifat transitif karena (5, 3) dan (3, 2) R tapi (5, 2) R
   

5. R₅ bersifat reflektif karena 1, 2, 3, 4, 5 A berlaku (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4) dan (5, 5) R
   

   R₅ bersifat simetri karena sesuai dengan definisi
   

   R₅ bersifat traansitif karena sesuai dengan definisi
   

6. R₆ tidak bersifat reflektif karena 1, 2 dan 3 A tapi (1, 1),(2, 2) dan (3, 3) R
   

   R₆ bersifat simetri karena sesuai dengan definisi

   tidak bersifat transitif karena (2, 3) dan (3, 2) R tapi (2, 2) R

Sumber :

Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

Anonim, 2002, Logika.