Sep 11 2012

Aturan Simpson 1 per 3 (2)


Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Melalui tulisan ini saya akan mencoba menurunkan atau membuktikan formula aturan simpson 1 per 3 dengan cara yang berbeda. Tulisan sebelumnya saya memandang x_0 = -h, x_1 = 0, dan x_2 = h, tapi sekarang saya akan memandang x_0 = 0, x_1 = h, dan x_2 = 2h.

Photobucket

Misal kita punya polinom berderajat dua yaitu f(x) = Ax^2 + Bx + C, substitusi nilai x_0 = 0, x_1 = h, dan x_2 = 2h ke fungsi f(x),

(0, f(x_0)) \rightarrow f(x_0) = C … (i)

(h, f(x_1)) \rightarrow f(x_1) = Ah^2 + Bh + C … (ii)

(2h, f(x_2)) \rightarrow f(x_2) = 4Ah^2 + 2Bh + C … (iii)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi f(x).

\displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx = \int_0^{2h} (Ax^2 + Bx + C) ~dx

= \dfrac{1}{3} Ax^3 + \dfrac{1}{2} Bx^2 + Cx  ~|_0^{2h}

= \dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch … (iv)

asumsikan luas area = P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2), sehingga diperoleh

\dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch = P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2) … (v)

Substitusi persamaan (i), (ii) dan (iii) ke persamaan (v),

\dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch = P \cdot C + Q(Ah^2 + Bh + C) + R.(4Ah^2 + 2Bh + C)

= P \cdot C + Q \cdot Ah^2 + Q \cdot Bh + Q \cdot C + R \cdot 4Ah^2 + R \cdot 2Bh + R \cdot C

= Ah^2(Q + 4R) + Bh(Q + 2R) + C(P + Q + R)

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

\dfrac{8}{3} h = Q + 4R … (vi)

2h = Q + 2R … (vii)

2h = P + Q + R … (viii)

dari (vii) dan (viii) diperoleh

2h =  \dfrac{8}{3}h -4R + 2R

R = \dfrac{1}{3}h … (ix)

dari (vii),(viii) dan (ix) diperoleh,

2h = P + 2h -2R + R

0 = P -R

P = R = \dfrac{1}{3}h

dari (viii) diperoleh,

Q = 2h -P -R

= 2h -\dfrac{1}{3}h -\dfrac{1}{3}h

= \dfrac{4}{3}h

Karena,

\displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx = P \cdot f(x_0) + Q.f(x_1) + R \cdot f(x_2)

= \dfrac{1}{3}h f(x_0) + \dfrac{4}{3}h f(x_1) + \dfrac{1}{3}h f(x_2)

S_1(f) = \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right]

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 1 per 3 dengan n partisi atau banyak pias adalah :

S_n(f) = \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right] + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) \right] + \ldots + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_{n-4}) + 4f(x_{n-3}) + f(x_{n-2}) \right] + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \right]

= \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) + f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) + \ldots + \right.

\left. f(x_{n-4}) + 4f(x_{n-3}) + f(x_{n-2}) + f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \right]

= \dfrac{1}{3}h \left[ (f(x_0) + f(x_{n})) + 4(f(x_1) + f(x_3) + \ldots + \right.

\left. f(x_{n-3}) + f(x_{n-1})) + 2(f(x_2) + f(x_4) + f(x_{n-4}) + f(x_{n-2}))  \right]

= \displaystyle \dfrac{1}{3}h \left[ (f(x_0) + f(x_n)) + 4 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2}^{n-2} f(x_i) \right]

INGAT : Aturan Simpson 1 per 3 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 2.

Contoh :

 

Hitunglah I = \displaystyle \int_0^4 e^x ~dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 8 pias.

Penyelesaian :

h =  \dfrac{4-0}{8} = 0.5

x_0 = 0

x_1 = a + h = 0.5

x_2 = a + 2h = 1

x_3 = a + 3h = 1.5

x_4 = a + 4h = 2

x_5 = a + 5h = 2.5

x_6 = a + 6h = 3

x_7 = a + 6h = 3.5

x_8 = a + 6h = 4

S_8 (x) = \dfrac{1}{3}h [ (f(x_0) + f(x_8)) + 4(f(x_1) + f(x_3) + f(x_5) + f(x_7)) + 2(f(x_2) + f(x_4) + f(x_6)) ]

= \dfrac{1}{3}(0.5) \left[ (e^0 + e^4) + 4(e^{0.5} + e^{1.5}+ e^{2.5} + e^{3.5}) + 2(e^1 + e^2 + e^3) \right]

= \dfrac{1}{6} [(1 + 54.5981) + 4(1.6487 + 4.4816 + 12.1824 + 33.1554) + 2(2.7182 + 7.3890 + 20.0855)]

= \dfrac{1}{6} (55.5981 + 205.8724 + 60.3854)

= 53.6426

One comment on “Aturan Simpson 1 per 3 (2)”

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s