Aturan Simpson 1 per 3 (2)

Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Melalui tulisan ini saya akan mencoba menurunkan atau membuktikan formula aturan simpson 1 per 3 dengan cara yang berbeda. Tulisan sebelumnya saya memandang x₀ = -h, x₁ = 0 dan x₂ = h, tapi sekarang saya akan memandang x₀ = 0, x₁ = h dan x₂ = 2h.

Misal kita punya polinom berderajat dua yaitu f(x) = Ax² + Bx + C, substitusi nilai x₀ = 0, x₁ = h dan x₂ = 2h ke fungsi f(x),

(0, f(x₀)) f(x₀) = C … (i)

(h, f(x₁)) f(x₁) = Ah² + Bh + C … (ii)

(2h, f(x₂)) f(x₂) = 4Ah² + 2Bh + C … (iii)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi f(x).

f(x) dx = (Ax² + Bx + C) dx

= Ax³ + Bx² + Cx |₀^2h

= Ah³ + 2Bh² + 2Ch … (iv)

asumsikan luas area = P.f(x₀) + Q.f(x₁) + R.f(x₂), sehingga diperoleh

Ah³ + 2Bh² + 2Ch = P.f(x₀) + Q.f(x₁) + R.f(x₂) … (v)

Substitusi persamaan (i), (ii) dan (iii) ke persamaan (v),

Ah³ + 2Bh² + 2Ch = P.C + Q.(Ah² + Bh + C) + R.(4Ah² + 2Bh + C)

= P.C + Q.Ah² + Q.Bh + Q.C + R.4Ah² + R.2Bh + R.C

= Ah²(Q + 4R) + Bh(Q + 2R) + C(P + Q + R)

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

h = Q + 4R … (vi)

2h = Q + 2R … (vii)

2h = P + Q + R … (viii)

dari (vii) dan (viii) diperoleh

2h = h – 4R + 2R

R = h … (ix)

dari (vii),(viii) dan (ix) diperoleh,

2h = P + 2h – 2R + R

0 = P – R

P = R = h

dari (viii) diperoleh,

Q = 2h – P – R

= 2h – h – h

= h

Karena,

f(x) dx = P.f(x₀) + Q.f(x₁) + R.f(x₂)

= h f(x₀) + h f(x₁) + h f(x₂)

S₁(f) = h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)]

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 1 per 3 dengan n partisi atau banyak pias adalah :

S_n(f) = h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂)] + h [f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄)] + … + h [f(x_n-4) + 4f(x_n-3) + f(x_n-2)] + h [f(x_n-2) + 4f(x_n-1) + f(x_n)]

= h [f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂) + f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄) + … + f(x_n-4) + 4f(x_n-3) + f(x_n-2) + f(x_n-2) + 4f(x_n-1) + f(x_n)]

= h [(f(x₀) + f(x_n)) + 4(f(x₁) + f(x₃) + … + f(x_n-3) + f(x_n-1)) + 2(f(x₂) + f(x₄) + … + f(x_n-4) + f(x_n-2)]

= h [(f(x₀) + f(x_n)) + 4f(x_i) + 2f(x_i)]

INGAT : Aturan Simpson 1 per 3 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 2.

Contoh :

Hitunglah I = e^x dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 8 pias.

Penyelesaian :

h = = 0.5

x₀ = 0

x₁ = a + h = 0.5

x₂ = a + 2h = 1

x₃ = a + 3h = 1.5

x₄ = a + 4h = 2

x₅ = a + 5h = 2.5

x₆ = a + 6h = 3

x₇ = a + 6h = 3.5

x₈ = a + 6h = 4

S₈(x) = h [(f(x₀) + f(x₈)) + 4(f(x₁) + f(x₃) + f(x₅) + f(x₇)) + 2(f(x₂) + f(x₄) + f(x₆))]

= (0.5) [(e⁰ + e⁴) + 4(e^0.5 + e^1.5 + e^2.5 + e^3.5) + 2(e¹ + e² + e³]

= [(1 + 54.5981) + 4(1.6487 + 4.4816 + 12.1824 + 33.1554) + 2(2.7182 + 7.3890 + 20.0855]

= h [55.5981 + 205.8724 + 60.3854]

= 53.6426

Iklan