Sep 11 2012

Aturan Simpson 1 per 3 (2)

Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Melalui tulisan ini saya akan mencoba menurunkan atau membuktikan formula aturan simpson 1 per 3 dengan cara yang berbeda. Tulisan sebelumnya saya memandang $x_0 = -h$ , $x_1 = 0$ , dan $x_2 = h$ , tapi sekarang saya akan memandang $x_0 = 0$ , $x_1 = h$ , dan $x_2 = 2h$ .

Misal kita punya polinom berderajat dua yaitu $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ , substitusi nilai $x_0 = 0$ , $x_1 = h$ , dan $x_2 = 2h$ ke fungsi $f(x)$ ,

$(0, f(x_0)) \rightarrow f(x_0) = C$ … (i)

$(h, f(x_1)) \rightarrow f(x_1) = Ah^2 + Bh + C$ … (ii)

$(2h, f(x_2)) \rightarrow f(x_2) = 4Ah^2 + 2Bh + C$ … (iii)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi $f(x)$ .

$\displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx = \int_0^{2h} (Ax^2 + Bx + C) ~dx$

= $\dfrac{1}{3} Ax^3 + \dfrac{1}{2} Bx^2 + Cx ~|_0^{2h}$

= $\dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch$ … (iv)

asumsikan luas area = $P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2)$ , sehingga diperoleh

$\dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch = P \cdot f(x_0) + Q \cdot f(x_1) + R \cdot f(x_2)$ … (v)

Substitusi persamaan (i), (ii) dan (iii) ke persamaan (v),

$\dfrac{8}{3} Ah^3 + 2Bh^2 + 2Ch = P \cdot C + Q(Ah^2 + Bh + C) + R.(4Ah^2 + 2Bh + C)$

$= P \cdot C + Q \cdot Ah^2 + Q \cdot Bh + Q \cdot C + R \cdot 4Ah^2 + R \cdot 2Bh + R \cdot C$

$= Ah^2(Q + 4R) + Bh(Q + 2R) + C(P + Q + R)$

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

$\dfrac{8}{3} h = Q + 4R$ … (vi)

$2h = Q + 2R$ … (vii)

$2h = P + Q + R$ … (viii)

dari (vii) dan (viii) diperoleh

$2h = \dfrac{8}{3}h -4R + 2R$

$R = \dfrac{1}{3}h$ … (ix)

dari (vii),(viii) dan (ix) diperoleh,

$2h = P + 2h -2R + R$

$0 = P -R$

$P = R = \dfrac{1}{3}h$

dari (viii) diperoleh,

$Q = 2h -P -R$

$= 2h -\dfrac{1}{3}h -\dfrac{1}{3}h$

$= \dfrac{4}{3}h$

Karena,

$\displaystyle \int_{x_0}^{x_2} f(x) ~dx = P \cdot f(x_0) + Q.f(x_1) + R \cdot f(x_2)$

$= \dfrac{1}{3}h f(x_0) + \dfrac{4}{3}h f(x_1) + \dfrac{1}{3}h f(x_2)$

$S_1(f) = \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right]$

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 1 per 3 dengan $n$ partisi atau banyak pias adalah :

$S_n(f) = \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) \right] + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) \right] + \ldots + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_{n-4}) + 4f(x_{n-3}) + f(x_{n-2}) \right] + \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \right]$

$= \dfrac{1}{3}h \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2) + f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) + \ldots + \right.$

$\left. f(x_{n-4}) + 4f(x_{n-3}) + f(x_{n-2}) + f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n}) \right]$

$= \dfrac{1}{3}h \left[ (f(x_0) + f(x_{n})) + 4(f(x_1) + f(x_3) + \ldots + \right.$

$\left. f(x_{n-3}) + f(x_{n-1})) + 2(f(x_2) + f(x_4) + f(x_{n-4}) + f(x_{n-2})) \right]$

$= \displaystyle \dfrac{1}{3}h \left[ (f(x_0) + f(x_n)) + 4 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2}^{n-2} f(x_i) \right]$

INGAT : Aturan Simpson 1 per 3 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 2.

Contoh :

Hitunglah $I = \displaystyle \int_0^4 e^x ~dx$ menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 8 pias.

Penyelesaian :

$h = \dfrac{4-0}{8} = 0.5$

$x_0 = 0$

$x_1 = a + h = 0.5$

$x_2 = a + 2h = 1$

$x_3 = a + 3h = 1.5$

$x_4 = a + 4h = 2$

$x_5 = a + 5h = 2.5$

$x_6 = a + 6h = 3$

$x_7 = a + 6h = 3.5$

$x_8 = a + 6h = 4$

$S_8 (x) = \dfrac{1}{3}h [ (f(x_0) + f(x_8)) + 4(f(x_1) + f(x_3) + f(x_5) + f(x_7)) + 2(f(x_2) + f(x_4) + f(x_6)) ]$

$= \dfrac{1}{3}(0.5) \left[ (e^0 + e^4) + 4(e^{0.5} + e^{1.5}+ e^{2.5} + e^{3.5}) + 2(e^1 + e^2 + e^3) \right]$

$= \dfrac{1}{6} [(1 + 54.5981) + 4(1.6487 + 4.4816 + 12.1824 + 33.1554) + 2(2.7182 + 7.3890 + 20.0855)]$

$= \dfrac{1}{6} (55.5981 + 205.8724 + 60.3854)$

$= 53.6426$

One comment on “Aturan Simpson 1 per 3 (2)”

sulai22

Mei 3, 2015 @ 11:42 pm

Thank’s banget kunbal

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

One comment on “Aturan Simpson 1 per 3 (2)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan