Aturan Simpson 1 per 3 (2)


Pada tulisan sebelumnya saya sudah membahas Aturan Simpson 1 per 3 beserta pembuktian formulanya. Melalui tulisan ini saya akan mencoba menurunkan atau membuktikan formula aturan simpson 1 per 3 dengan cara yang berbeda. Tulisan sebelumnya saya memandang x0 = -h, x1 = 0 dan x2 = h, tapi sekarang saya akan memandang x0 = 0, x1 = h dan x2 = 2h.

Photobucket

Misal kita punya polinom berderajat dua yaitu f(x) = Ax2 + Bx + C, substitusi nilai x0 = 0, x1 = h dan x2 = 2h ke fungsi f(x),

(0, f(x0)) \rightarrow f(x0) = C … (i)

(h, f(x1)) \rightarrow f(x1) = Ah2 + Bh + C … (ii)

(2h, f(x2)) \rightarrow f(x2) = 4Ah2 + 2Bh + C … (iii)

pandang luas dibawah kurva sebagai pengintegralan dari fungsi f(x).

\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx = \int_0^{2h} (Ax2 + Bx + C) dx

= \frac{1}{3} Ax3 + \frac{1}{2} Bx2 + Cx |02h

= \frac{8}{3} Ah3 + 2Bh2 + 2Ch … (iv)

asumsikan luas area = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2), sehingga diperoleh

\frac{8}{3} Ah3 + 2Bh2 + 2Ch = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2) … (v)

Substitusi persamaan (i), (ii) dan (iii) ke persamaan (v),

\frac{8}{3} Ah3 + 2Bh2 + 2Ch = P.C + Q.(Ah2 + Bh + C) + R.(4Ah2 + 2Bh + C)

= P.C + Q.Ah2 + Q.Bh + Q.C + R.4Ah2 + R.2Bh + R.C

= Ah2(Q + 4R) + Bh(Q + 2R) + C(P + Q + R)

Dari koefesien yang bersesuaian, diperoleh,

\frac{8}{3}h = Q + 4R … (vi)

2h = Q + 2R … (vii)

2h = P + Q + R … (viii)

dari (vii) dan (viii) diperoleh

2h = \frac{8}{3}h – 4R + 2R

R = \frac{1}{3}h … (ix)

dari (vii),(viii) dan (ix) diperoleh,

2h = P + 2h – 2R + R

0 = P – R

P = R = \frac{1}{3}h

dari (viii) diperoleh,

Q = 2h – P – R

= 2h – \frac{1}{3}h – \frac{1}{3}h

= \frac{4}{3}h

Karena,

\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx = P.f(x0) + Q.f(x1) + R.f(x2)

= \frac{1}{3}h f(x0) + \frac{4}{3}h f(x1) + \frac{1}{3}h f(x2)

S1(f) = \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

Jadi untuk rumus Aturan Simpson 1 per 3 dengan n partisi atau banyak pias adalah :

Sn(f) = \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + \frac{1}{3}h [f(x2) + 4f(x3) + f(x4)] + … + \frac{1}{3}h [f(xn-4) + 4f(xn-3) + f(xn-2)] + \frac{1}{3}h [f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{1}{3}h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2) + f(x2) + 4f(x3) + f(x4) + … + f(xn-4) + 4f(xn-3) + f(xn-2) + f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

= \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(xn)) + 4(f(x1) + f(x3) + … + f(xn-3) + f(xn-1)) + 2(f(x2) + f(x4) + … + f(xn-4) + f(xn-2)]

= \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(xn)) + 4\sum_{i=1}^{n-1}f(xi) + 2\sum_{i=2}^{n-2}f(xi)]

INGAT : Aturan Simpson 1 per 3 ini berlaku untuk kurva yang jumlah partisinya kelipatan 2.

Contoh :

Hitunglah I = \int_0^4 ex dx menggunakan Metode Simpson 1 per 3 dengan 8 pias.

Penyelesaian :

h = \frac{4-0}{8} = 0.5

x0 = 0

x1 = a + h = 0.5

x2 = a + 2h = 1

x3 = a + 3h = 1.5

x4 = a + 4h = 2

x5 = a + 5h = 2.5

x6 = a + 6h = 3

x7 = a + 6h = 3.5

x8 = a + 6h = 4

S8(x) = \frac{1}{3}h [(f(x0) + f(x8)) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7)) + 2(f(x2) + f(x4) + f(x6))]

= \frac{1}{3}(0.5) [(e0 + e4) + 4(e0.5 + e1.5 + e2.5 + e3.5) + 2(e1 + e2 + e3]

= \frac{1}{6} [(1 + 54.5981) + 4(1.6487 + 4.4816 + 12.1824 + 33.1554) + 2(2.7182 + 7.3890 + 20.0855]

= \frac{1}{6}h [55.5981 + 205.8724 + 60.3854]

= 53.6426

One comment on “Aturan Simpson 1 per 3 (2)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s