Interpolasi Lagrange


Di bangku sekolah sering kita menghitung nilai fungsi atau koordinat ketika telah diberikan f(x) dan himpunan titik x (domain) atau mencari domain dari fungsi ketika diberikan ‘range’nya. Misalnya diberikan f(x) := x^2 + 1 dengan x = 1, 2 dan 3, maka dengan cara mensubstitusi nilai “x” ke f(x) diperoleh (1, 2), (2, 5), dan (3, 10). Yang jadi pertanyaannya sekarang, jika diketahui himpunan titik-titik (koordinat), bagaimana cara mendefinisikan atau mengkonstruksikan fungsinya? Salah satu cara yang biasa dilakukan adalah dengan Interpolasi.

Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi fungsi yang grafiknya melewati himpunan titik-titik yang diberikan. Interpolasi digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi hanya dengan data-data yang telah diketahui. Pada tulisan ini akan dibahas Interpolasi Lagrange atau dikenal juga dengan nama Polinom Lagrange. Perhatikan Polinom Lagrange Derajat 1 atau Interpolasi Linier, untuk interpolasi ini menggunakan pendekatan garis-gari atau persamaan linier sehingga digunakan persamaan garis untuk mengkonstruksi interpolasinya. Misal kita punya dua titik yaitu (x_0, y_0) dan (x_1, y_1), sehingga masing-masing titik dapat ditulis sebagai berikut :

P_1(x_0) = y_0 = a_0 + a_1 x_0 … (i)

P_1(x_1) = y_1 = a_0 + a_1 x_1 … (ii)

Kemudian eliminasi kedua persamaan,

\begin{array}{lll} y_0 &= a_0 + a_1 x_0 &\\ y_1 &= a_0 + a_1 x_1 & -\\ --- & ------\\ y_0-y_1 &= a_1 x_0 -a_1 x_1\\ y_0-y_1 &= a_1 (x_0 -x_1) \end{array}

a_1 = \dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1}

kemudian substitusi nilai a_1 ke persamaan (i)

y_0 = a_0 + \left( \dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1} \right) x_0

a_0 = y_0 - \left( \dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1} \right) x_0

= \left( \dfrac{x_0-x_1}{x_0-x_1} \right) y_0 -\left( \dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1} \right) x_0

= \left( \dfrac{x_0.y_0-x_1.y_0}{x_0-x_1} \right) -\left( \dfrac{y_0.x_0-y_1.x_0}{x_0-x_1} \right)

= \left( \dfrac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1} \right)

substitusi nilai a_0 dan a_1 ke persamaan umum polinom P_1(x), sehingga :

P_1(x) = a_0 +a_1 x

= \left( \dfrac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1} \right) + \left( \dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1} \right) x

= \left( \dfrac{-x_1.y_0+y_1.x_0}{x_0-x_1} \right) + \left( \dfrac{x.y_0-x.y_1}{x_0-x_1} \right)

= \left( \dfrac{xy_0-x_1y_0}{x_0-x_1} \right) + \left( \dfrac{x_0y_1-xy_1}{x_0-x_1} \right)

= \left( \dfrac{x-x_1}{x_0-x_1} \right) y_0 + \left( \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0} \right) y_1

= ^1L_0 (x) + ^1L_1 (x)

Kemudian untuk Interpolasi Lagrange dengan menggunakan Polinom Derajar 2 atau dikenal juga dengan Interpolasi Kuadrat. Fungsi yang akan dikontruksi ini menggunakan tiga titik. Misal titik-titik tersebut adalah (x_0, y_0), (x_1, y_1) dan (x_2, y_2) dengan x_0 \neq x_1 \neq x_2.

P_2 (x_0) = y_0 = a_0 +a_1 x_0 + a_2 x_0^2 … (i)

P_2 (x_1) = y_0 = a_0 +a_1 x_1 + a_2 x_1^2 … (ii)

P_2 (x_2) = y_0 = a_0 +a_1 x_2 + a_2 x_2^2 … (iii)

dengan mengeliminasi persamaan (i), (ii) dan (iii), maka akan diperoleh

a_0 = \dfrac{(x_2-x_3)x_2x_3y_0 + (x_3-x_1)x_3x_1y_1 + (x_1-x_2)x_1x_2y_2}{(x_2-x_3)x_1^2 + (x_3-x_1)x_2^2 + (x_1-x_2)x_3^2}

a_1 = \dfrac{(x_2^2-x_3^2)y_0 + (x_3^2-x_1^2)y_1 + (x_1^2-x_2^2)y_2}{(x_2 -x_3)x_1^2 + (x_3-x_1)x_2^2 + (x_1-x_2)x_3^2}

a_2 = \dfrac{(x_2-x_3)y_0 + (x_3-x_1)y_1 + (x_1-x_2)y_2}{(x_2-x_3)x_1^2 + (x_3-x_1)x_2^2 + (x_1-x_2)x_3^2}

kemudian substitusikan nilai a_0, a_1 dan a_2 ke persamaan P_2 (x_0) = y_0 = a_0 +a_1 x_0 + a_2 x_0^2, sehingga diperoleh :

P_2 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \right] y_0 + \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \right] y_1 + \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \right] y_2

= ^2L_0 (x) + ^2L_1 (x) + ^2L_2 (x)

Kemudian untuk polinom derajat 3 atau menggunakan 4 titik yaitu dengan (x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), dan (x_3, y_3) dengan x_0 \neq x_1 \neq x_2 \neq x_3, diperoleh rumusnya sebagai berikut.

P_3 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} \right] y_0 + \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \right] y_1 + \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} \right] y_2 + \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \right] y_3

= ^3L_0 (x) + ^3L_1 (x) + ^3L_2 (x) + ^3L_3 (x)

Secara umum maka rumus untuk Interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut :

^nL_k(x)=\left\{\begin{matrix} =0 \quad , \quad k \neq j\\ =1 \quad , \quad k = j \end{matrix}\right.

Jika k < n, diperoleh.

^n L_k (x) = \dfrac{(x-x_1)(x-x_2) \ldots (x-x_{k-1})(x_0-x_{k+1}) \ldots (x-x_n)}{ (x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)}

Contoh 1 :

Konstruksikan P_2(x) dari titik yang diketahui berikut (0, -1), (1, -1) dan (2, 7) !

Penyelesaian :

Karena diketahui 3 titik yaitu (x_0, y_0) = (0, -1), (x_1, y_1) = (1, -1) dan (x_2, y_2) = (2, 7) maka digunakan rumus

P_2(x) = ^2L_0 (x) + ^2L_1 (x) + ^2L_2 (x)

dengan,

^2L_0 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \right] y_0

= \left[ \dfrac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} \right] (-1)

= \left[ \dfrac{x^2-3x+2}{2} \right] (-1)

= \dfrac{-x^2+3x-2}{2}

^2L_1 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \right] y_1

= \left[ \dfrac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} \right] (-1)

= \left[ \dfrac{x^2-2x}{-1} \right] (-1)

= \dfrac{2x^2-4x}{2}

^2L_2 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \right] y_2

= \left[ \dfrac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} \right] (7)

= \left[ \dfrac{x^2-x}{2} \right] (7)

= \dfrac{7x^2-7x}{2}

P_2(x) = \dfrac{-x^2+3x-2}{2} + \dfrac{2x^2-4x}{2} + \dfrac{7x^2-7x}{2}

= \dfrac{8x^2-8x-2}{2}

= 4x^2-4x-1

Photobucket

Gambar 1. Grafik Hasil Interpolasi

Contoh 2 :

Tentukan polinom yang menginterpolasi fungsi f(x) = \cos x pada titik-titik x = \left \{0, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, 1 \right\}.

Penyelesaian :

Karena yang diketahui nilai “x“-nya saja, berarti dihitung dulu nilai y atau f(x).

y_0 = \cos 0 = 1

y_1 = \cos \dfrac{1}{3} = 0.95

y_2 = \cos \dfrac{2}{3} = 0.79

y_3 = \cos 1 = 0.54

P_3(x) = ^3L_0 (x) + ^3L_1 (x) + ^3L_2 (x) + ^3L_3 (x), dengan

^3L_0 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} \right] y_0

= \left[ \dfrac{\left( x-\frac{1}{3} \right) \left( x-\frac{2}{3} \right)(x-1)}{\left( 0-\frac{1}{3} \right) \left(0- \frac{2}{3} \right)(0-1)} \right] (1)

= \dfrac{x^3 -2x^2 + \dfrac{11}{9}x -\dfrac{2}{9}}{-\dfrac{2}{9}}

= \dfrac{-9x^3+18x^2-11x+2}{2}

^3L_1 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \right] y_1

= \left[ \dfrac{(x-0) \left( x-\frac{2}{3} \right)(x-1)}{\left( \frac{1}{3}-0 \right) \left( \frac{1}{3} -\frac{2}{3} \right) \left( \frac{1}{3}-1 \right)} \right] (0.95)

= \left[ \dfrac{x^3 -\frac{5}{3}x^2 +\frac{2}{3}x}{\frac{2}{27}} \right] (0.95)

= \left[ \dfrac{27x^3-45x^2+18x}{2} \right] (0.95)

= \dfrac{25.65x^3-42.75x^2+17.1x}{2}

^3L_2 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} \right] y_2

= \left[ \dfrac{(x-0) \left( x-\frac{1}{3} \right)(x-1)}{\left( \frac{2}{3}-0 \right) \left( \frac{2}{3}-\frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3}-1 \right)} \right] (0.79)

= \left[ \dfrac{x^3 -\frac{4}{3}x^2 +\frac{1}{3}x}{-\frac{2}{27}} \right] (0.79)

= \left[ \dfrac{-27x^3+36x^2-9x}{2} \right] (0.79)

= \dfrac{-21.33x^3+28.44x^2-7.11x}{2}

^3L_3 (x) = \left[ \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x-x_2)} \right] y_3

= \left[ \dfrac{(x-0) \left( x-\frac{1}{3} \right) \left( x-\frac{2}{3} \right)}{(1-0) \left( 1-\frac{1}{3} \right) \left( 1-\frac{2}{3} \right)} \right] (0.54)

= \left[ \dfrac{x^3 -x^2 +\frac{2}{9}x}{\frac{2}{9}} \right] (0.54)

= \left[ \dfrac{9x^3-9x^2+2x}{2} \right] (0.54)

= \dfrac{4.86x^3-4.86x^2+1.08x}{2}

P_3(x) = \dfrac{-9x^3+18x^2-11x+2}{2} + \dfrac{25.65x^3-42.75x^2+17.1x}{2} + \dfrac{-21.33x^3+28.44x^2-7.11x}{2} + \dfrac{4.86x^3-4.86x^2+1.08x}{2}

= \dfrac{0.18x^3 -1.17x^2 +0.07x +2}{2}

= 0.09x^3- 0.585x^2+ 0.035x + 1

10 comments on “Interpolasi Lagrange

  1. kalo soal seperti ini cara penyelesaiannya bagaimana?
    1. diketahui Y= 2X1.X2
    C= 100
    HX1=10
    HX2 = 2
    htunglah nilai X1X2 yang memaksimumkan produk?
    2. diketahui 250=2X1X2
    C=10X1+X2
    hitung X1X2 yang memaksimumkan biaya?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s