Aturan Simpson 1 per 3 (3)


Setelah pada tulisan sebelumnya memaparkan tentang Aturan Simpson 1 per 3 (1) dan Aturan Simpson 1 per 3 (2) beserta pembuktian secara sederhana, pada tulisan ini saya akan mencoba membuktikan Rumus Aturan Simpson 1 per 3 menggunakan Interpolasi Lagrange. Lebih tepatnya interpolasi lagrange polinom derajat 2 dengan mengambil a, b dan c, dimana c = \frac{a+b}{2} berturut-turut sebagai titik awal, akhir dan titik tengah.

Photobucket

Seperti yang diketahui bahwa luas dibawah kurva merupakan integral dari polinom yang bersangkutan.

S2(f) = \int_a^b P2(x) dx

= \int_a^b [\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} f(a) + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} f(b) + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} f(c)] dx

= \int_a^b [\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}] f(a) dx + \int_a^b [\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}] f(b) dx + \int_a^b [\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}] f(c) dx … (i)

Dengan mengintegralkan secara terpisah dan mengambil h = \frac{b-a}{2} \Rightarrow 2h + a = b dan c = a + h. Maka diperoleh.

\int_a^b \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} f(a) dx = \int_a^{a+2h} \frac{(x-b)(x-c)}{(a-(2h+a))(a-(a+h))} f(a) dx

= \frac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (x – c)(x – b) dx

ambil u = x – a \Rightarrow du = dx

= \frac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (u – h)(u – 2h) du

= \frac{1}{2h^2} \int_0^{2h} (u2 – 3uh + 2h2) du

= \frac{1}{2h^2} \frac{1}{3}u3\frac{3}{2} u2h + 2h2u |02h

= \frac{1}{2h^2} ([\frac{8}{3}h3 – 6h3 + 4h3] – 0)

= \frac{1}{3} h … (ii)

\int_a^b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} dx = \int_a^{a+2h} \frac{(x-a)(x-c)}{((2h+a)-a)((2h+a)-(a+h))} dx

= \frac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (x – a)(x – c) dx

Dengan cara yang sama seperti diatas, maka diperoleh

\int_a^b \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} dx = \frac{1}{3} h … (iii)

\int_a^b \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} dx = \int_a^{a+2h} \frac{(x-a)(x-b)}{((h+a)-a)((h+a)-(a+2h))} dx

= –\frac{1}{h^2} \int_a^{a+2h} (x – a)(x – b) dx

ambil u = x – a \Rightarrow du = dx

= –\frac{1}{h^2} \int_a^{a+2h} (u)(u – 2h) du

= –\frac{1}{h^2} \int_0^{2h} (u2 – 2hu) du

= –\frac{1}{h^2} \frac{1}{3}u3 –u2h |02h

= –\frac{1}{h^2} ([\frac{8}{3}h3 – 4h3] – 0)

= \frac{4}{3} h … (iv)

Substitusi (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan (i), diperoleh.

S2(f) = \frac{1}{3} h f(a) + \frac{1}{3} h f(b) + \frac{4}{3} h f(c)

= \frac{1}{3} h[f(a) + f(b) + 4f(c)]

= \frac{1}{3} h[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s