Aturan Simpson 1 per 3 (3)


Setelah pada tulisan sebelumnya memaparkan tentang Aturan Simpson 1 per 3 (1) dan Aturan Simpson 1 per 3 (2) beserta pembuktian secara sederhana, pada tulisan ini saya akan mencoba membuktikan Rumus Aturan Simpson 1 per 3 menggunakan Interpolasi Lagrange. Lebih tepatnya interpolasi lagrange polinom derajat 2 dengan mengambil a, b dan c, dimana $latexc = \dfrac{a+b}{2}$ berturut-turut sebagai titik awal, akhir dan titik tengah.

Photobucket

Seperti yang diketahui bahwa luas dibawah kurva merupakan integral dari polinom yang bersangkutan.

S2(f) = \displaystyle \int_a^b~ P_2(x) ~dx

= \displaystyle \int_a^b \left[ \dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}f(a) + \dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}f(b) + \dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c) \right] dx

= \displaystyle \int_a^b \left[ \dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} \right] f(a) ~dx + \int_a^b \left[ \dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} \right] f(b) ~dx + \int_a^b \left[ \dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} \right]f(c) ~dx … (i)

Dengan mengintegralkan secara terpisah dan mengambil h = \dfrac{b-a}{2} \Rightarrow 2h + a = b dan c = a + h. Maka diperoleh.

\displaystyle \int_a^b \dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} f(a) ~dx = \int_a^{a+2h} \dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-(2h+a))(a-(a+h))} f(a) ~dx

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (x-c)(x-b) ~dx

ambil u = x-a \Rightarrow du = dx

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (u-h)(u-2h) ~du

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \int_0^{2h} (u^2-3uh+2h^2) ~du

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \left( \dfrac{1}{3} u^3-\dfrac{3}{2} u^2h + 2h^2u \right) |_0^{2h}

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \left( \left[ \dfrac{8}{3} h^3 - 6h^3 + 4h^3 \right] - 0 \right)

= \dfrac{1}{3}h … (ii)

\displaystyle \int_a^b \dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}~ dx = \int_a^{a+2h} \dfrac{(x-a)(x-c)}{((2h+a)-a)((2h+a)-(a+h))}~dx

= \displaystyle \dfrac{1}{2h^2} \int_a^{a+2h} (x-a)(x-c) ~dx

Dengan cara yang sama seperti diatas, maka diperoleh

\displaystyle \int_a^b \dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} ~dx = \dfrac{1}{3} h … (iii)

\displaystyle \int_a^b \dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} ~dx = \int_a^{a+2h} \dfrac{(x-a)(x-b)}{((h+a)-a)((h+a)-(a+2h))} ~dx

= \displaystyle -\dfrac{1}{h^2} \int_a^{a+2h} (x-a)(x-b) ~dx

ambil u = x-a \Rightarrow du = dx

= \displaystyle -\frac{1}{h^2} \int_a^{a+2h} u(u-2h) ~du

= \displaystyle -\dfrac{1}{h^2} \int_0^{2h} (u^2-2hu) ~du

= \displaystyle -\frac{1}{h^2} \dfrac{1}{3} u^3-u^2h |_0^{2h}

= \displaystyle -\frac{1}{h^2} \left( \left[ \dfrac{8}{3} h^3-4h^3 \right] - 0 \right)

= \dfrac{4}{3}h … (iv)

Substitusi (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan (i), diperoleh.

S2(f) = \dfrac{1}{3}h f(a) + \dfrac{1}{3}h f(b) + \dfrac{4}{3}h f(c)

= \dfrac{1}{3}h[f(a) + f(b) + 4f(c)]

= \dfrac{1}{3} h \left[ f(a) + 4f \left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s