Sep 14 2012

Menghitung Determinan Menggunakan Eselon Baris


Definisi 1.

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer beranda dari A. Jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Jika kita punya matriks A2×2, = \left [ \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right ] maka det(A) = a11a22 – a12a21.

Kemudian jika kita punya matriks B3×3 = \left [ \begin{array}{rrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array} \right ] maka

det(B) = a11a22a33 – a12a23a31 – a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32.

Tapi jika kita memiliki matriks yang berordo 4×4, 5×5, dan seterusnya, bagaimana cara mencari determinannya? Pada tulisan ini saya akan membahas untuk mencari determinan matriks menggunakan Operasi Baris Elementer dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris atau membuat Matriks Segitiga Atas atau Matriks Segitiga Bawah.

Contoh matriks segitiga atas pada matriks 4×4 :

\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ 0& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ 0& 0& a_{33}& a_{34}\\ 0& 0& 0& a_{44}\\ \end{array} \right ]

Contoh matriks segitiga bawah pada matriks 4×4 :

\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& 0& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& 0\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{34}\\ \end{array} \right ]

Untuk menghitung determinan matriks dengan cara ini dijamin oleh sebuah teorema berikut.

Teorema 2.

Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri diagonal utama yakni det(A) = a11a22 … ann.

Contoh 3.

Hitung determinan dari matriks A = \left [ \begin{array}{rrrrr} 2& 7& -3& 8& 3\\ 0& -3& 7& 5& 1\\ 0& 0& 6& 7& 6\\ 0& 0& 0& 9& 8\\ 0& 0& 0& 0& 4 \end{array} \right ]

Penyelesaian.

Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas, maka untuk menghitung determinan dapat langsung menggunakan Teorema diatas.

Jadi, det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Contoh 4.

Hitung determinan dari matriks B = \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]

Penyelesaian.

Langkah awal untuk mengerjakan ini adalah dengan cara mereduksi matriks baris tersebut menjadi eselon baris dengan menggunakan OBE.

\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]

  1. baris kedua : 2B2 – B1

    \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]

  2. baris ketiga : B3 + 2B2

    baris keempat : B4 + B2

    \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 1& 4 \end{array} \right ]

  3. baris keempat : B4 + B3

    \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 6 \end{array} \right ]

Karena pada langkah pertama di baris kedua kita menggunakan operasi 2B_2-B_1, yaitu mengalikan 2 pada baris kedua, sehingga hasil perkalian diaonal utamanya harus dibagi 2.

Jadi det(B) = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot -1 \cdot -1 \cdot 6 = 6

Contoh 5.

Hitung determinan matriks dari B = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}.

Penyelesaian.

1. Baris Kedua : B_2-2B_1

\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}

2. Baris Ketiga : B_3-\dfrac{2}{5}B_2

\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}

Jadi, set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1

Sumber :

Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

14 comments on “Menghitung Determinan Menggunakan Eselon Baris”

  5. Ping-balik: Invers Matriks Menggunakan Adjoint | Math IS Beautiful

  6. Mau tanya dong gan,
    1.) Untuk pencarian determinan menggunakan metode OBE itu ada syarat tertentunya atau tidak?

    2.) Minta penjelasan tentang perihal ini, “Karena pada langkah pertama di baris kedua kita menggunakan operasi 2B_2-B_1, yaitu mengalikan 2 pada baris kedua, sehingga hasil perkalian diaonal utamanya harus dibagi 2”. Bagaimana jika yang dikali 2 adalah B_1 apakah tetap akan dibagi 2 nantinya?

    3.) Untuk mencari determinan dengan OBE apakah diperbolehkan menggunakan pertukaran baris?

    Sekian pertanyaan dari saya, mohon informasi lebih lanjut gan terima kasih 🙂

    Balas

      • 1. Syaratnya ya itu matriks yang di cari determinan diubah jadi matriks segitiga atas atau bawah.

        2. Jika rumusnya 2b2-b1 maka determinannya harus dibagi 2. tetapi jika rumusnya b2-1/2b1 maka determinannya tidak dibagi lagi.

        3. Boleh saja, tapi hasil determinannya jadi negatif determinan matriks sebelumnya.

        Jika ingin bisa determinan cara OBE, pahami dulu sifat-sifat determinan matriks.

        Balas

  7. hitunglah determinan dari matriks yang di berikan dengan mereduksi matrik , menjadi bentuk eloson baris. cara penyelesaiannya bagaimana Ka
    \begin{bmatrix} 1&-3&0\\ -2&4&1\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}

    Balas

  8. cara untuk mengubah menjadi matriks segitiga bawah menggunakan OBE gimana mas? yang diubah ke 0, baris kedua dulu yah? mohon pencerahannya

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s