Definisi 1.
Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer beranda dari A. Jumlah det(A) kita namakan determinan A.
Jika kita punya matriks A2×2, = ![\left [ \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D+a_%7B11%7D+%26a_%7B12%7D%5C%5C+a_%7B21%7D+%26a_%7B22%7D+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right ]")
Kemudian jika kita punya matriks B3×3 = ![\left [ \begin{array}{rrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D+a_%7B11%7D%26+a_%7B12%7D%26+a_%7B13%7D%5C%5C+a_%7B21%7D%26+a_%7B22%7D%26+a_%7B23%7D%5C%5C+a_%7B31%7D%26+a_%7B32%7D%26+a_%7B33%7D+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array} \right ]")
det(B) = a11a22a33 – a12a23a31 – a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32.
Tapi jika kita memiliki matriks yang berordo 4×4, 5×5, dan seterusnya, bagaimana cara mencari determinannya? Pada tulisan ini saya akan membahas untuk mencari determinan matriks menggunakan Operasi Baris Elementer dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris atau membuat Matriks Segitiga Atas atau Matriks Segitiga Bawah.
Contoh matriks segitiga atas pada matriks 4×4 :
![\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ 0& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ 0& 0& a_{33}& a_{34}\\ 0& 0& 0& a_{44}\\ \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+a_%7B11%7D%26+a_%7B12%7D%26+a_%7B13%7D%26+a_%7B14%7D%5C%5C+0%26+a_%7B22%7D%26+a_%7B23%7D%26+a_%7B24%7D%5C%5C+0%26+0%26+a_%7B33%7D%26+a_%7B34%7D%5C%5C+0%26+0%26+0%26+a_%7B44%7D%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ 0& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ 0& 0& a_{33}& a_{34}\\ 0& 0& 0& a_{44}\\ \end{array} \right ]")
Contoh matriks segitiga bawah pada matriks 4×4 :
![\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& 0& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& 0\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{34}\\ \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+a_%7B11%7D%26+0%26+0%26+0%5C%5C+a_%7B21%7D%26+a_%7B22%7D%26+0%26+0%5C%5C+a_%7B31%7D%26+a_%7B32%7D%26+a_%7B33%7D%26+0%5C%5C+a_%7B41%7D%26+a_%7B42%7D%26+a_%7B43%7D%26+a_%7B34%7D%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} a_{11}& 0& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& 0\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{34}\\ \end{array} \right ]")
Untuk menghitung determinan matriks dengan cara ini dijamin oleh sebuah teorema berikut.
Teorema 2.
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri diagonal utama yakni det(A) = a11a22 … ann.
Contoh 3.
Hitung determinan dari matriks A =
![\left [ \begin{array}{rrrrr} 2& 7& -3& 8& 3\\ 0& -3& 7& 5& 1\\ 0& 0& 6& 7& 6\\ 0& 0& 0& 9& 8\\ 0& 0& 0& 0& 4 \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrrr%7D+2%26+7%26+-3%26+8%26+3%5C%5C+0%26+-3%26+7%26+5%26+1%5C%5C+0%26+0%26+6%26+7%26+6%5C%5C+0%26+0%26+0%26+9%26+8%5C%5C+0%26+0%26+0%26+0%26+4+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrrr} 2& 7& -3& 8& 3\\ 0& -3& 7& 5& 1\\ 0& 0& 6& 7& 6\\ 0& 0& 0& 9& 8\\ 0& 0& 0& 0& 4 \end{array} \right ]")
Penyelesaian.
Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas, maka untuk menghitung determinan dapat langsung menggunakan Teorema diatas.
Jadi, det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
Contoh 4.
Hitung determinan dari matriks B =
![\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+2%26+1%26+3%26+1%5C%5C+1%26+0%26+1%26+1%5C%5C+0%26+2%26+1%26+0%5C%5C+0%26+1%26+2%26+3+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]")
Penyelesaian.
Langkah awal untuk mengerjakan ini adalah dengan cara mereduksi matriks baris tersebut menjadi eselon baris dengan menggunakan OBE.
-
baris kedua : 2B2 – B1
-
baris ketiga : B3 + 2B2
baris keempat : B4 + B2
-
baris keempat : B4 + B3
![\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+2%26+1%26+3%26+1%5C%5C+0%26+-1%26+-1%26+1%5C%5C+0%26+2%26+1%26+0%5C%5C+0%26+1%26+2%26+3+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]")
![\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 1& 4 \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+2%26+1%26+3%26+1%5C%5C+0%26+-1%26+-1%26+1%5C%5C+0%26+0%26+-1%26+2%5C%5C+0%26+0%26+1%26+4+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 1& 4 \end{array} \right ]")
![\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 6 \end{array} \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D+2%26+1%26+3%26+1%5C%5C+0%26+-1%26+-1%26+1%5C%5C+0%26+0%26+-1%26+2%5C%5C+0%26+0%26+0%26+6+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=666666&s=0 "\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 6 \end{array} \right ]")
Karena pada langkah pertama di baris kedua kita menggunakan operasi 
Jadi
Contoh 5.
Hitung determinan matriks dari 
Penyelesaian.
1. Baris Kedua :
2. Baris Ketiga :
Jadi,
Sumber :
Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.
Kak, tp saya hitungnya kok hasilnya 6?
iya, saya belom perbaiki.
Kak ini kunci jawaban buku kah?
Reblogged this on indahsoo.
Kak kenapa di determinan cuman ada di matriks persegi?
Ping-balik: Invers Matriks Menggunakan Adjoint | Math IS Beautiful
Mau tanya dong gan,
1.) Untuk pencarian determinan menggunakan metode OBE itu ada syarat tertentunya atau tidak?
2.) Minta penjelasan tentang perihal ini, “Karena pada langkah pertama di baris kedua kita menggunakan operasi 2B_2-B_1, yaitu mengalikan 2 pada baris kedua, sehingga hasil perkalian diaonal utamanya harus dibagi 2”. Bagaimana jika yang dikali 2 adalah B_1 apakah tetap akan dibagi 2 nantinya?
3.) Untuk mencari determinan dengan OBE apakah diperbolehkan menggunakan pertukaran baris?
Sekian pertanyaan dari saya, mohon informasi lebih lanjut gan terima kasih 🙂
tidak berlaku mas.
dibolehkan mas dan tidak merubah hasil akhirnya.
1. Syaratnya ya itu matriks yang di cari determinan diubah jadi matriks segitiga atas atau bawah.
2. Jika rumusnya 2b2-b1 maka determinannya harus dibagi 2. tetapi jika rumusnya b2-1/2b1 maka determinannya tidak dibagi lagi.
3. Boleh saja, tapi hasil determinannya jadi negatif determinan matriks sebelumnya.
Jika ingin bisa determinan cara OBE, pahami dulu sifat-sifat determinan matriks.
terima kasih penjelasannya mas 🙂
hitunglah determinan dari matriks yang di berikan dengan mereduksi matrik , menjadi bentuk eloson baris. cara penyelesaiannya bagaimana Ka
\begin{bmatrix} 1&-3&0\\ -2&4&1\\ 5&-2&2 \end{bmatrix}
ditulisan ini sudah ada contohnya, silahkan dipelajari dan ditanyakan bagian yang masih belum jelas
cara untuk mengubah menjadi matriks segitiga bawah menggunakan OBE gimana mas? yang diubah ke 0, baris kedua dulu yah? mohon pencerahannya