Sifat-Sifat Determinan Matriks


Berikut sifat-sifat determinan yang terdapat pada matriks.

  1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.

    Contoh :

    misal matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right ]

    dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka

    det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{array} \right |

    = a31M31 – a32M32 + a33M33

    = 0\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 0& 1 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 1 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rr} 1& 2\\ 1& 0 \end{array} \right |

    = 0(2.1 – 3.0) – 0(1.1 – 1.3) + 0(1.0 – 1.2)

    = 0

  2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann

    Contoh :

    det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |

    = a31M31 – a32M32 + a33M33

    = 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 3& 1 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 0& 1 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 0& 3 \end{array} \right |

    = 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 0.3) + 3(2.3 – 0.1)

    = 0 – 0 + 3.2.3

    = 18

    Hasil ini sama dengan perkalian entri pada diagonal utama yaitu 2 x 3 x 3 = 18

  3. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)

    Contoh :

    misal k = 2 dan A = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ] maka kA = \left [ \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]

    det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |

    berdasarkan Sifat 3 maka det(kA) = det(A’) = 4.3.3 = 36

    karena det(A) = 18 dan k = 2 maka k.det(A) = 2.18 = 36

    jadi, det(A’) = k.det(A)

  4. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = -det(A)

    Contoh :

    misal A = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ] maka kA = \left [ \begin{array}{rrr} 4& 2& 6\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ] dan baris 1 ditukar dengan baris 2 sehingga diperoleh matriks A’ = \left [ \begin{array}{rrr} 0& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]

    det(A’) = \left [ \begin{array}{rrr} 0& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]

    = a31M31 – a32M32 + a33M32

    = 0\left | \begin{array}{rr} 3& 1\\ 1& 3 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 0& 1\\ 2& 3 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 0& 3\\ 2& 1 \end{array} \right |

    = 0(3.3 – 1.1) – 0(0.3 – 2.1) + 3(0.1 – 2.3)

    = 0 – 0 + 3.(-2).3

    = -18

    Jadi, det(A’) = -det(A)

  5. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)

    Contoh :

    misal A = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ] kemudian bilakukan Operasi Baris Elementer pada baris kedua yaitu B2 + 2B1 sehingga diperoleh A’ = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 4& 5& 7\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ]

    det(A’) = \left | \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 4& 5& 7\\ 0& 0& 3 \end{array} \right |

    = a31M31 – a32M32 + a33M33

    = 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 5& 7 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 2& 3\\ 4& 7 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 4& 5 \end{array} \right |

    = 0(1.7 – 5.3) – 0(2.7 – 3.4) + 3(2.5 – 4.1)

    = 0 – 0 + 3.(6)

    = 18

    Jadi, det(A’) = det(A)

  6. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At)

    Contoh :

    misal A = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 1& 3\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3 \end{array} \right ] maka At = \left [ \begin{array}{rrr} 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 3& 1& 3 \end{array} \right ]

    det(At) = a13M13 – a23M23 + a33M33

    = 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 3& 1 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 3& 1 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 1& 3 \end{array} \right |

    = 0(1.1 – 3.3) – 0(2.1 – 3.0) + 3(2.3 – 1.0)

    = 0 – 0 + 3.2.3

    = 18

    Jadi, det(A) = det(At)

  7. Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

    Contoh :

    misal

    A = \left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ] maka det(A) = (1.3 – 4.2) = -5

    A’ = \left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ] maka det(A) = (4.2 – 1.3) = 5

    dan A” = A + A’ = \left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} 5& 5\\ 5& 5 \end{array} \right ] maka det(A”) = (5.5 – 5.5) = 0

    jadi det(A”) = det(A) + det(A’) = -5 + 5 = 0

  8. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B)

    Contoh :

    Dari contoh pada Sifat 7 dengan det(A) = -5 dan det(A’) = det(B) = 5 maka det(AB) = (-5)(5) = -25

    AB = \left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} 4& 3\\ 1& 2 \end{array} \right ]

    = \left [ \begin{array}{rr} 1.4+2.1& 1.3+2.2\\ 4.4+3.1& 4.3+3.2 \end{array} \right ]

    = \left [ \begin{array}{rr} 6& 7\\ 19& 18 \end{array} \right ]

    det(AB) = 6.18 – 19.7

    = 108 – 133

    = -25

    Jadi det(A.B) = det(A).det(B) = (-5)(5) = -25

  9. Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) \neq 0

    Contoh :

    misal A = \left [ \begin{array}{rr} 1& 2\\ 4& 3 \end{array} \right ] dengan det(A) = -5

    A-1 = \frac{1}{detA} \left [ \begin{array}{rr} d& -b\\ -c& a \end{array} \right ]

    = \frac{1}{-5} \left [ \begin{array}{rr} 3& -2\\ -4& 1 \end{array} \right ]

    = \left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ]

    Karena det(A) \neq 0. Jadi matriks A memilki invers yaitu A-1 = \left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ]

  10. Jika A dapat dibalik, maka det(A-1) = \frac{1}{det(A)}

    Contoh :

    A-1 = \left [ \begin{array}{rr} -3/5& 2/5\\ 4/5& -1/5 \end{array} \right ] maka

    det(A-1) = (-3/5)(-1/5) – (4/5)(2/5)

    = 3/25 – 8/25

    = -5/25

    = -1/5

    karena det(A) = -5 maka berlaku det(A-1) = 1/det(A) = -1/5

Sumber : Anton, H,. 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

Iklan

5 comments on “Sifat-Sifat Determinan Matriks

  1. Ping-balik: Mencari Solusi Persamaan Menggunakan Aturan Cramer | Math IS Beautiful

  2. Mas bro, kalo misalkan elemen baris ke-i dengan baris ke-j sama persis.
    Contoh :
    1 0 0 0
    1 2 0 0
    1 2 4 0
    1 2 4 0
    Disitu kan elemen baris ke-3 sama persis dengan baris ke-4

    Nah, apakah matriks seperti itu determinannya PASTI 0 ??

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s