Vektor dan Sifat-Sifatnya


Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-2 (R2) atau ruang-3 (R3). Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya vektor. Ekor panah dinamakan titi awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Vektor biasanya dilambangkan dengan huruf kecil dan tebal, misal a, b, p, q, u dan v atau dengan huruf kecil dan memberi garis panah diatasnya, misal \vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{u}, dan \vec{v}.

Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jika ingin menggambar penjumlahan vektor v + w secara geometris adalah dengan cara meneempatkan vektor w sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakn oleh panah dari titik awal v terhadap titik terminal w. Perhatikan gambar dibawah ini.

Photobucket

Sifat-Sifat Ilmu Hitung pada Vektor :

Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 serta k dan l adalah skalar, maka berlaku

  1. u + v = v + u

    Bukti :

    u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)

    = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

    = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) [sifat komutatif bil.riil]

    = (v1, v2, v3) + (u1, u2, u3)

    = v + u \blacksquare

  2. (u + v) + w = u + (v + w)

    Bukti :

    (u + v) + w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)] + (w1, w2, w3)

    = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) + (w1, w2, w3)

    = ([u1 + v1] + w1, [u2 + v2] + w2, [u3 + v3] + w3)

    = (u1 + [v1 + w1], u2 + [v2 + w2], u3 + [v3 + w3]) [sifat asosiatif bil.riil]

    = (u1, u2, u3) + (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

    = (u1, u2, u3) + [(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)]

    = u + (v + w) \blacksquare

  3. u + 0 = 0 + u = 0

    Bukti :

    u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)

    = (u1 + 0, u2 + 0, u3 + 0)

    = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3) [sifat komutatif bil.riil]

    = (0, 0, 0) + (u1, u2, u3)

    = 0 + u

    0 + u = (0, 0, 0) + (u1, u2, u3)

    = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)

    = (u1, u2, u3) [sifat penjumlahan bilangan nol]

    = u

    u + 0 = 0 + u = u \blacksquare

  4. u + (-u) = 0

    Bukti :

    u + (-u) = (u1, u2, u3) + (-u1, -u2, -u3)

    = (u1 – u1, u2 – u2, u3 – u3)

    = (0, 0, 0) [sifat pengurangan bil.riil]

    = 0 \blacksquare

  5. k(lu) = (kl)u

    Bukti :

    k(lu) = k[l(u1, u2, u3)]

    = k(lu1, lu2, lu3)

    = (k[lu1], k[lu2], k[lu3])

    = ([kl]u1, [kl]u2, [kl]u3) [sifat asosiatif bil.riil]

    = (kl)(u1, u2, u3)

    = (kl)u \blacksquare

  6. k(u + v) = ku + kv

    Bukti :

    k(u + v) = k[(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)]

    = k(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

    = (k[v1 + u1], k[v2 + u2], k[v3 + u3])

    = (ku1 + kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3) [sifat distributif bil.riil]

    = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3)

    = k(u1, u2, u3) + k(v1, v2, v3)

    = ku + kv \blacksquare

  7. (k + l)u = ku + lu

    Bukti :

    (k + l)u = (k + l)(u1, u2, u3)

    = ([k + l]u1, [k + l]u2, [k + l]u3)

    = (ku1 + lu1, ku2 + lu2, ku3 + lu3) [sifat distributif bil.riil]

    = (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)

    = ku + lu \blacksquare

  8. 1u = u

    Bukti :

    1u = 1(u1, u2, u3)

    = (1u1, 1u2, 1u3)

    = (u1, u2, u3) [sifat identitas perkalian bil.rill]

    = u \blacksquare

NOTE : dalam pembuktian sifat-sifat diatas, vektor yang digunakan adalah vektor ruang-3 yaitu dengan u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), dan w = (w1, w2, w3), untuk vektor ruang-2, pembuktiannya sama dengan vektor di ruang-2.

Sumber :

Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

Anton, H and Rorres, C., 2005, Elementary Linear Algebra, John Willey & Sons, USA.

4 comments on “Vektor dan Sifat-Sifatnya

  1. Ping-balik: Jurnal Sifat Karbohidrat Pdf | PDF DOWNLOAD

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s