Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A
Contoh 1 :
Hitung invers matriks A2×2 berikut A = .
Penyelesaian :
Jika kita punya matriks 2×2, misal A = , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus
A-1 = B =
=
=
Cek, apakah AB = BA = I
AB =
=
= I
BA =
=
= I
Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.
Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.
Contoh 2 :
Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =
Penyelesaian :
Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.
Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.
-
baris kedua : B2 + (-2B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]
baris ketiga : B3 + (-B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]
-
baris ketiga : B3 + 2B2 [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]
-
baris ketiga : B3 x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]
-
baris kedua : B2 + 3B3 [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]
baris pertama : B1 + (-3B3) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]
-
baris pertama : B1 + (-2B2) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]
Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A-1 =
Contoh 3 :
Periksa apakah matriks A3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = .
Penyelesaian :
Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer
-
baris pertama : B1 x (1/3)
-
baris kedua : B2 + (-2B1)
baris ketiga : B3 + 4B1
Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.
Sumber : Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.
kk kalo nak cari invers matriks b dengan obe
b:1 1 0
2 3 2
2 1 3
1 1 0| 1 0 0
2 3 2 | 0 1 0
2 1 3 | 0 0 1
ditulisan ini sudah ada contoh yang saya kasi. SIlahkan dicoba sendiri
Apakah berbeda jika kita mencari invers matrik menggunakan metoda sarrus, metoda eliminasi gaus jordan dan metoda ekspansi laplace.? Bisakah diberikan contoh bagaimana menyelesaikan matriks 4×4 menggunakan ketiga metoda yang saya sebutkan di atas sehingga bisa ditarik kesimpulan cara mana yang paling cepat dan mudah untuk menyelesaikan berbagai tipe ordo matriks. Terima kasih
Setau saya, Sarrus dan Ekspansi Kofaktor itu digunakan utk mencari determinan matriks dan khusus utk metode Sarrus itu hanya mencari determinan matriks 3×3.
Refrensi : https://aimprof08.wordpress.com/2015/12/06/metode-sarrus/ dan https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/menghitung-determinan-matriks-menggunakan-kofaktor/
Sedangkan utk mencari invers, bisa menggunkan OBE dan Adjoint
Refrensi : https://aimprof08.wordpress.com/2016/05/02/invers-matriks-menggunakan-adjoint/
Utk contoh adjoint, sama saja utk yang 3×3, tpi tinggal mencari determinan matriks 4×4, anda bisa menggunakan Ekspansi Kofaktor.
Kalo pendapat pribadi, saya lebih suka pake OBE.
assalamualaikum,
bisa tolong bantu jelaskan tentang invers matriks yang (mxn) ?
waalaikumsalam.
Silahkan baca disini :
https://aimprof08.wordpress.com/2015/01/17/apa-itu-matriks-invers-tergeneralisasi/comment-page-1/
https://aimprof08.wordpress.com/2015/01/19/matriks-invers-tergeneralisasi/
Untuk refrensi buku, bisa menggunakan Inverse Generalized karangan Adi Ben Israel, Thomas N.E. Greville dan buku karangan Prof. Setiadji (dosen UGM)
terima kasih