Pembuktian Aturan Kosinus

Pasti semua sudah tahu Aturan Kosinus pada Segitiga. Jika kita memiliki segitiga ABC sebarang dengan sisi-sisinya diketahui maka kita bisa mencari besar sudut-sudut segitiga tersebut menggunakan Aturan Kosinus, rumus yang sering kita lihat adalah sebagai berikut AB² = BC² + AC² – 2.BC.AC.C, dimana AB adalah sisi depan sudut serta BC dan AC adalah sisi yang mengapit sudut. Dalam tulisan ini saya akan mencoba menjabarkan bagaimana cara memperoleh rumus tersebut dengan memandang sebuah vektor di ruang-2 atau ruang-3. Sebelumnya perhatikan Definisi dibawah ini.

Definisi :

Jika u dan v adalah vector-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v =

Pandang vektor dibawah ini.

Dari gambar diatas diketahui

+ =

= – (kuadratin kedua ruas)

² = ² + ² –

Karena : ² = ²

² = ²

² = ²

= cos (by Definisi)

maka diperoleh,

² = ² + ² – cos

NOTE : adalah norma atau panjang .