Pembuktian Aturan Kosinus


Pasti semua sudah tahu Aturan Kosinus pada Segitiga. Jika kita memiliki segitiga ABC sebarang dengan sisi-sisinya diketahui maka kita bisa mencari besar sudut-sudut segitiga tersebut menggunakan Aturan Kosinus, rumus yang sering kita lihat adalah sebagai berikut AB2 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.\angleC, dimana AB adalah sisi depan sudut serta BC dan AC adalah sisi yang mengapit sudut. Dalam tulisan ini saya akan mencoba menjabarkan bagaimana cara memperoleh rumus tersebut dengan memandang sebuah vektor di ruang-2 atau ruang-3. Sebelumnya perhatikan Definisi dibawah ini.

Definisi :

Jika u dan v adalah vector-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan \theta adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v = \left\{\begin{matrix} \left \| u \right \|\left \| v \right \|cos \theta, \quad jika \quad u \neq 0 \quad dan \quad v \neq 0 \\ 0, \quad jika \quad u=0 \quad dan \quad v=0 \end{matrix}\right.

Pandang vektor dibawah ini.

Photobucket

Dari gambar diatas diketahui

\vec{OP_1} + \vec{P_1P_2} = \vec{OP_2}

\vec{P_1P_2} = \vec{OP_2} \vec{OP_1} (kuadratin kedua ruas)

\vec{P_1P_2} 2 = \vec{OP_2} 2 + \vec{OP_1} 22\vec{OP_1} \vec{OP_2}

Karena : \vec{P_1P_2} 2 = \left \| \vec{P_1P_2} \right \| 2

\vec{OP_2} 2 = \left \| \vec{OP_1} \right \| 2

\vec{OP_1} 2 = \left \| \vec{OP_2} \right \| 2

\vec{OP_1} \vec{OP_2} = \left \| \vec{OP_1} \right \|\left \| \vec{OP_2} \right \| cos \theta (by Definisi)

maka diperoleh,

\vec{P_1P_2} 2 = \vec{OP_2} 2 + \vec{OP_1} 22\left \| \vec{OP_1} \right \|\left \| \vec{OP_2} \right \| cos \theta \blacksquare

NOTE : \left \| \vec{PQ} \right \| adalah norma \vec{PQ} atau panjang \vec{PQ} .

Iklan

5 comments on “Pembuktian Aturan Kosinus

  1. Ping-balik: Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3) | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4) | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (3) | Math IS Beautiful

  4. Ping-balik: Lingkaran Luar Segitiga | Math IS Beautiful

  5. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s