Pembuktian Rumus Luas Lingkaran


Sejak duduk dibangku sekolah dasar hingga sekarang Rumus Luas Lingkaran tidak ada perubahan dan sudah sering juga digunakan, tapi mungkin diantara kita banyak yang bertanya, darimana asal Rumus Luas Lingkaran tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dalam tulisan ini akan mencoba membuktikan Rumus Luas Lingkaran dengan memandang lingkaran dalam koordinat kartesius. Persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y = \sqrt{r^2-x^2}. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran. Untuk mencari luasnya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r.

Photobucket

Luas = 4 \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-(r.sin \theta)^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-r^2.sin^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2(1-sin^2 \theta)} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2.cos^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r r.cos\theta dx

Karena sin \theta = \frac{x}{r} , berakibat x = r.sin \theta, turunkan kedua ruas maka dx = r.cos\theta d\theta, substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 4 \int_0^r r.cos\theta (r.cos\theta d\theta)

= 4 \int_0^r r2.cos2\theta d\theta

= 4r2 \int_0^r (\frac{1+cos2\theta}{2}) d\theta

= 2r2 \int_0^r (1 + cos 2\theta) d\theta

= 2r2 (\theta + \frac{1}{2} sin 2\theta) \mid_0^r

= 2r2 (\theta + sin \theta cos \theta) \mid_0^r

Substitusi sin \theta = \frac{x}{r} , cos \theta = \frac{r^2-x^2}{r} dan \theta = sin-1(\frac{x}{r})

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + \frac{x}{r} \frac{r^2-x^2}{r} ) \mid_0^r

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + x\frac{r^2-x^2}{r^2} ) \mid_0^r

= 2r2 [(sin-1(\frac{r}{r}) + r\frac{r^2-r^2}{r^2} ) – (sin-1(\frac{0}{r}) + 0\frac{r^2-0^2}{r^2} )]

= 2r2 [(sin-1(1) + 0) – (sin-1(0) + 0)]

= 2r2[\frac{\pi}{2} + 0) – (0\pi + 0)]

= \pir2

9 comments on “Pembuktian Rumus Luas Lingkaran

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s