Sep 30 2012

Pembuktian Rumus Luas Lingkaran

Sejak duduk dibangku sekolah dasar hingga sekarang Rumus Luas Lingkaran tidak ada perubahan dan sudah sering juga digunakan, tapi mungkin diantara kita banyak yang bertanya, darimana asal Rumus Luas Lingkaran tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dalam tulisan ini akan mencoba membuktikan Rumus Luas Lingkaran dengan memandang lingkaran dalam koordinat kartesius. Persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x² + y² = r² atau y = $\sqrt{r^2-x^2}$ . Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran. Untuk mencari luasnya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r.

Luas = 4 $\int_0^r$ $\sqrt{r^2-x^2}$ dx

= 4 $\int_0^r$ $\sqrt{r^2-(r.sin \theta)^2}$ dx

= 4 $\int_0^r$ $\sqrt{r^2-r^2.sin^2 \theta}$ dx

= 4 $\int_0^r$ $\sqrt{r^2(1-sin^2 \theta)}$ dx

= 4 $\int_0^r$ $\sqrt{r^2.cos^2 \theta}$ dx

= 4 $\int_0^r$ r.cos $\theta$ dx

Karena sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$ , berakibat x = r.sin $\theta$ , turunkan kedua ruas maka dx = r.cos $\theta$ d $\theta$ , substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 4 $\int_0^r$ r.cos $\theta$ (r.cos $\theta$ d $\theta$ )

= 4 $\int_0^r$ r².cos² $\theta$ d $\theta$

= 4r² $\int_0^r$ $(\frac{1+cos2\theta}{2})$ d $\theta$

= 2r² $\int_0^r$ (1 + cos 2 $\theta$ ) d $\theta$

= 2r² ( $\theta$ + $\frac{1}{2}$ sin 2 $\theta$ ) $\mid_0^r$

= 2r² ( $\theta$ + sin $\theta$ cos $\theta$ ) $\mid_0^r$

Substitusi sin $\theta$ = $\frac{x}{r}$ , cos $\theta$ = $\frac{r^2-x^2}{r}$ dan $\theta$ = sin^-1 $(\frac{x}{r})$

= 2r² (sin^-1 $(\frac{x}{r})$ + $\frac{x}{r}$ $\frac{r^2-x^2}{r}$ ) $\mid_0^r$

= 2r² (sin^-1 $(\frac{x}{r})$ + x $\frac{r^2-x^2}{r^2}$ ) $\mid_0^r$

= 2r² [(sin^-1 $(\frac{r}{r})$ + r $\frac{r^2-r^2}{r^2}$ ) – (sin^-1 $(\frac{0}{r})$ + 0 $\frac{r^2-0^2}{r^2}$ )]

= 2r² [(sin^-1(1) + 0) – (sin^-1(0) + 0)]

= 2r²[ $\frac{\pi}{2}$ + 0) – (0 $\pi$ + 0)]

= $\pi$ r²

10 comments on “Pembuktian Rumus Luas Lingkaran”

Rizal

Juli 2, 2015 @ 11:41 pm

Keren Luar Biasa 🙂

Balas
NANA

Mei 3, 2016 @ 7:57 pm

terimakasih atas informasinya….

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Berliana FZ pada Pembahasan Matematika Ujian Na…
	Roy Mahendra pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Menulis Equation pada Blo…
	kang cahyo pada Menulis Equation pada Blo…
	Rezza pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Be a Better pada Aturan Sinus
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

10 comments on “Pembuktian Rumus Luas Lingkaran”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan