Pembuktian Akar 2 Bilangan Irrasional Secara Geometri


Pasti sudah tahu bahwa \sqrt{2} merupakan bilangan irrasional kan? Tapi sudah tahu bagaimana pembuktiannya ? Jika belum, sobat saya adimath17 sudah memaparkan pembuktiannya pada tulisannya yang berjudul Dibalik Pembuktian Akar 2 Merupakan Bilangan Tak Rasional. Pada tulisan ini saya akan mencoba memaparkan pembuktian dengan sudut pandang berbeda dari pembuktian yang sudah dipaparkan yaitu membuktikan \sqrt{2} yang merupakan bilangan irrasional secara geometri. Misal kita punya segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang sisi siku-sikunya adalah bilangan bulat terkecil seperti pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Pada pembuktian ini, kita akan menggunakan metode pembuktian kontradiksi, misal \sqrt{2} bilangan rasional sehingga dapat ditulis menjadi \sqrt{2} = \frac{a}{b} dengan a, b \epsilon \quad \mathbb{Z} dan b \neq 0.

Dari gambar diatas, misal kita buat seperempat lingkaran dengan titik pusat adalah titik C dan berpotongan dengan sisi miring segitiga di titik D, sedemikian sehingga seperti gambar dibawah ini.

Photobucket

Karena BC dan CD adalah jari-jari dari setengah lingkaran maka BC = CD, dimana BC, CD \epsilon \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa AC = BC + CD, dengan BC, CD \epsilon \quad \mathbb{Q} maka AC \epsilon \quad \mathbb{Q} juga.

Photobucket

\angleADE = 900 dan \angleEAD = 450 berakibat \angleAED = 1800\angleADE – \angleEAD = 450. Sehingga \triangleADE adalah segitiga siku-siku sama kaki. Kemudian gambar diatas kita perluas seperempat lingkaran menjadi setengah lingkaran seperti pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Garis AB merupakan garis singgung setengah lingkaran sehingga garis singgung lingkaran pada titik D berpotongan dengan garis singgung lingkaran pada titik B yang berpotongan pada titik E sedemikian sehingga DE = EB. Karena DE \epsilon \quad \mathbb{Z} berakibat EB \epsilon \quad \mathbb{Z}. Kemudian karena AB = AE + EB \Leftrightarrow AE = AB – EB \epsilon \quad \mathbb{Z} sehingga \triangleADE adalah segitiga siku-siku sama kaki. Ini artinya terdapat segitiga siku-siku sama kaki yang memiliki panjang sisi bilangan bulat, ini kontradiksi dengan anggapan awal kita yaitu \triangleABC merupakan segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang sisi bilangan bulat terkecil. Jadi haruslah \sqrt{2} adalah bilangan irrasional.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s